[cf578F]Mirror Box

构造如下一张无向图：

1.点集大小为$(n+1)(m+1)$，即所有格点

2.边集大小为$nm$，即所有镜子所连结的两个格点

对于一个确定的镜子状态，即可确定上图，那么来考虑什么样的图是合法的

结论：如果将这些点黑白染色，显然不存在连结黑色和白色点的边，之后合法当且仅当黑色点恰好构成生成树或白色点恰好构成生成树

由于两者不可能同时构成生成树（这意味着有$(n+1)(m+1)-2$条边，边数不足）

以黑色为例，对于一个未确定的镜子，也就是一条边是否存在，不难发现这就是一个生成树计数，对于强制存在的边预先缩点即可，由于最后至多新增$k$条边，即若缩点后连通块数多于$k+1$无解（$k$为$*$个数）

根据矩阵树定理计算，复杂度显然是$o(k^{3})$，缩点复杂度为$o(nm\log nm)$，即可通过

下面考虑前面的结论，简单的说明一下：

为了方便，将最外面的一圈边界也看作镜子并连边，然后即构成了一张平面图

对于平面图中的封闭图形，显然光线无法穿过多个封闭图形，接下来我们证明一个封闭图形中恰好有一条光线，且覆盖了其中所有位置

证明比较简单，只需要找到一个与光线相邻且未被覆盖的位置，从该处引出一条光线就会导致矛盾

换言之，与边界线在同一个封闭图形内的另一个出口就是其结束的位置

这也就等价于边界上所有黑点（或白点）相邻两点连通，那么即构成一个仅含相邻两段边界线的封闭图形，同时如果不包含所有黑点，那么外面这一圈相邻两点的路径有交，必然构成一个不包含边界的封闭图形，无法被覆盖

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 105
 4 vector<pair<int,int> >v;
 5 int n,m,k,mod,a[N<<1][N<<1],pos[N*N],f[N*N];
 6 char s[N][N];
 7 int id(int x,int y){
 8     return x*(m+1)+y+1;
 9 }
10 int find(int k){
11     if (k==f[k])return k;
12     return f[k]=find(f[k]);
13 }
14 bool merge(int x,int y){
15     x=find(x),y=find(y);
16     if (x==y)return 0;
17     f[x]=y;
18     return 1;
19 }
20 int pow(int n,int m){
21     int s=n,ans=1;
22     while (m){
23         if (m&1)ans=1LL*ans*s%mod;
24         s=1LL*s*s%mod;
25         m>>=1;
26     }
27     return ans;
28 }
29 int guess(int n){
30     int ans=1;
31     for(int i=1;i<=n;i++){
32         int k=-1;
33         for(int j=i;j<=n;j++)
34             if (a[j][i]){
35                 k=j;
36                 break;
37             }
38         if (k<0)return 0;
39         if (k!=i){
40             ans=mod-ans;
41             for(int j=i;j<=n;j++)swap(a[i][j],a[k][j]);
42         }
43         ans=1LL*ans*a[i][i]%mod;
44         int s=pow(a[i][i],mod-2);
45         for(int j=i;j<=n;j++)a[i][j]=1LL*a[i][j]*s%mod;
46         for(int j=i+1;j<=n;j++){
47             int s=a[j][i];
48             for(int k=i;k<=n;k++)a[j][k]=(a[j][k]-1LL*s*a[i][k]%mod+mod)%mod;
49         }
50     }
51     return ans;
52 }
53 int calc(int p){
54     for(int i=0;i<=n;i++)
55         for(int j=0;j<=m;j++)
56             if ((i+j)%2==p)f[id(i,j)]=id(i,j);
57     v.clear();
58     for(int i=0;i<n;i++)
59         for(int j=0;j<m;j++)
60             if ((i+j)%2==p){
61                 if (s[i][j]=='*')v.push_back(make_pair(id(i,j),id(i+1,j+1)));
62                 if (s[i][j]=='\\'){
63                     if (!merge(id(i,j),id(i+1,j+1)))return 0;
64                 }
65             }
66             else{
67                 if (s[i][j]=='*')v.push_back(make_pair(id(i,j+1),id(i+1,j)));
68                 if (s[i][j]=='/'){
69                     if (!merge(id(i,j+1),id(i+1,j)))return 0;
70                 }
71             }
72     pos[0]=0;
73     for(int i=0;i<=n;i++)
74         for(int j=0;j<=m;j++)
75             if (((i+j)%2==p)&&(f[id(i,j)]==id(i,j)))pos[id(i,j)]=++pos[0];
76     if (pos[0]>k+1)return 0;
77     memset(a,0,sizeof(a));
78     for(int i=0;i<v.size();i++){
79         int x=pos[find(v[i].first)],y=pos[find(v[i].second)];
80         if (x<pos[0])a[x][x]=(a[x][x]+1)%mod;
81         if (y<pos[0])a[y][y]=(a[y][y]+1)%mod;
82         if ((x<pos[0])&&(y<pos[0])){
83             a[x][y]=(a[x][y]+mod-1)%mod;
84             a[y][x]=(a[y][x]+mod-1)%mod;
85         }
86     }
87     return guess(pos[0]-1);
88 }
89 int main(){
90     scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod);
91     for(int i=0;i<n;i++){
92         scanf("%s",s[i]);
93         for(int j=0;j<m;j++)
94             if (s[i][j]=='*')k++;
95     }
96     printf("%d",(calc(0)+calc(1))%mod);
97 }