【NOIP 2018】摆渡车

前情提要

是的 我终于回来补坑了

一年了哇 你这个鸽子王

斜率优化版本

今天在复习斜率优化的时候才想起来这个题

定义就不设了 大家想看可以看上面那个原版

怎么斜率优化呢？

我们考虑\(i\)点是当前的目标状态 \(j\)点是当前的最优决策

则有如下这个式子

\(f_i = i\ *\ (cnt_i - cnt_j)\ -\ (sum_i\ -\ sum_j)\ +\ f_j\)

拆

\(f_i = i\ *\ cnt_i\ -\ i\ *\ cnt_j\ -\ sum_i\ +\ sum_j\ +\ f_j\)

根据斜率优化的套路

把和\(j\)有关的放在左边 \(同时和i和j的项放在中间\) \(只和i有关的放在右边\)

\(f_j\ + sum_j\ =\ i\ *\ cnt_j\ +\ f_i\ - \ sum_i\ +\ i\ *\ cnt_i\)

\(f_j + sum_j\)是\(y\)

\(i\)是\(k\)

\(cnt_j\)是\(x\)

\(f_i\ - \ sum_i\ +\ i\ *\ cnt_i\)是\(b\)

接下来就是常规操作了 对于\(i\) 在队列中压入\(i - m\) 维护一个斜率的下凸包即可

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int maxT = 4000105;

int n, m, t, ti, ans = 1e9, l = 1, r, cnt[maxT], sum[maxT], q[maxT], f[maxT];

inline double getSlope(int u, int v) { return (double) (f[v] + sum[v] - f[u] - sum[u]) / (cnt[u] == cnt[v] ? 1e-9 : cnt[v] - cnt[u]); }

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &ti); t = std::max(t, ti);
        cnt[ti]++; sum[ti] += ti;
    }
    for (int i = 1; i < t + m; i++) { cnt[i] += cnt[i - 1]; sum[i] += sum[i - 1]; } // 前缀和.
    for (int i = 0; i < t + m; i++) {
        if (i - m >= 0) {
        	while (l < r && getSlope(q[r - 1], q[r]) >= getSlope(q[r], i - m)) { r--; }
        	q[++r] = i - m; // 把可能成为最优解的推入队列.
        }
    	while (l < r && getSlope(q[l], q[l + 1]) <= i) { l++; } // 把不可能成为最优解的弹出队列.
        f[i] = cnt[i] * i - sum[i]; // 特判边界情况.
        if (l <= r) { f[i] = std::min(f[i], f[q[l]] + (cnt[i] - cnt[q[l]]) * i - (sum[i] - sum[q[l]])); } // 斜率优化转移.
    }
    for (int i = t; i < t + m; i++) { ans = std::min(ans, f[i]); }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}