[题解]hihoCoder挑战赛18——题目1 神奇字符串

题目地址：http://hihocoder.com/problemset/problem/1264

时间限制:20000ms

单点时限:1000ms

内存限制:256MB

描述

我们说两个字符串是非常相似的,当且仅当它们的编辑距离小于等于1.

现在我们有两个字符串A和B, 每个单位时间你可以交换字符串A的相邻的两个字符.

问最少需要多少时间,你可以让A和B变得非常相似?保证存在一种这样的方案.

输入

第一行一个字符串,表示A.

第二行一个字符串,表示B.

所有字符串都仅有英文小写字母组成.

A和B的长度都不超过100.

输出

一行表示最少需要的时间.

样例输入

nwlrb
rclwnb

样例输出

6

解题思路

首先要搞清楚什么叫“编辑距离”。编辑距离（Edit Distance）是指两个字串之间，由一个字串变成另一个字串所需要的最少编辑操作次数。编辑操作包括三种：将一个字符替换为另一个字符、插入一个字符、删除一个字符。

由题目要求知道，这样方案一定存在，那么A、B两个字串要么长度相同，要么长度相差1。分类讨论，设n为A串的长度，m为B串的长度，A串最后变成C串，C串与B串的编辑距离<=1。

当n==m时，这时C串长度与A、B串一样，所以与B串要么一样，要么有一个字母不一样；当n==(m+1)时，表示C串要添加一个字符得到B串，同样也是B串删除一个字符得到C串；当(n+1)==m时，表示C串要删除一个字符得到B串，同样B串添加一个字符也可以得到C串。

现在再考虑A串怎么变成C串的。题目给出的对A串的操作只有交换两个相邻的字符，由优化思想可以知道，如果两个相邻的字符是相同的，则没有必要交换，所以说相同的字符之间的相对顺序是不会改变的，于是当C串固定时，A串变为C串的一一对应关系是确定的，也就是说A串中第k个字母a一定变到C串种第k个字母a的位置上。这样问题就转换为求逆序对数量的问题了。

思路比较清楚了，如何实现呢？我们可以枚举与B串编辑距离<=1的C串，第一种情况时间复杂度为O(n)，后两种情况时间复杂度为O(n^2)。（后两种似乎可以用链表的形式优化为O(n)，时间限制不苛刻，这里没有过多考虑）再计算A串到C串的交换次数，即逆序对的数量，时间复杂度为O(n^2)。

附：C++代码

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <vector>
 4 #include <algorithm>
 5 #include <cstring>
 6
 7 using namespace std;
 8 #define MaxN 120
 9 #define INF 1e9
10
11 int n, m, Last[MaxN];
12 char A[MaxN], B[MaxN], C[MaxN];
13
14 vector <int> Pos[30];
15
16 int Dis()
17 {
18     int i, j, x;
19     for(i = 0; i < 26; i++)
20         Pos[i].clear();
21     for(i = n; i > 0; i--)
22         Pos[C[i] - 'a'].push_back(i);
23     for(i = 1; i <= n; i++)
24     {
25         x = A[i] - 'a';
26         if(Pos[x].size() == 0)
27             return INF;
28         else
29         {
30             Last[i] = Pos[x][Pos[x].size() - 1];
31             Pos[x].pop_back();
32         }
33     }
34     int Ans = 0;
35     for(i = 1; i <= n; i++)
36         for(j = i + 1; j <= n; j++)
37             if(Last[i] > Last[j])
38                 Ans++;
39     return Ans;
40 }
41
42 int main()
43 {
44     int i, j, Ans = INF;
45     scanf("%s", A + 1);
46     scanf("%s", B + 1);
47     n = strlen(A + 1);
48     m = strlen(B + 1);
49     if(n == m)
50     {
51         memcpy(C, B, sizeof(B));
52         for(i = 1; i <= n; i++)
53         {
54             for(j = 0; j < 26; j++)
55             {
56                 C[i] = 'a' + j;
57                 Ans = min(Ans, Dis());
58             }
59             C[i] = B[i];
60         }
61     }
62     else if(n == (m + 1))
63     {
64         for(i = 0; i <= m; i++)
65         {
66             for(j = 1; j <= i; j++)
67                 C[j] = B[j];
68             for(j = i + 1; j <= m; j++)
69                 C[j + 1] = B[j];
70             for(j = 0; j < 26; j++)
71             {
72                 C[i + 1] = 'a' + j;
73                 Ans = min(Ans, Dis());
74             }
75         }
76     }
77     else
78     {
79         for(i = 1; i <= m; i++)
80         {
81             for(j = 1; j < i; j++)
82                 C[j] = B[j];
83             for(j = i + 1; j <= m; j++)
84                 C[j - 1] = B[j];
85             Ans = min(Ans, Dis());
86         }
87     }
88     printf("%d", Ans);
89     return 0;
90 }