P7276-送给好友的礼物【dp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7276?contestId=39577

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题目大意

\(n\)个点的一棵树，\(k\)个关键点，两个人从根出发分别走一段路径回到根。要求每个关键点至少被一个人经过，求最短时间。

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解题思路

相当于求两个覆盖所有关键点的联通子图，使得最大那棵最小。

树上只留下关键点和它们的祖先节点，这样就变为了所有点都要经过，也就是所有叶子都要经过。

然后比较显然的结论是一定会按照\(dfs\)从小到大的顺序走，所以可以直接\(dp\)。设\(f_{i,j,k}\)表示两个人分别走到\(i,j\)，目前第二棵树的大小为\(k\)时第一棵树的最小大小。

注意转移\(x->i\)的时候权值得是\(dis(\ LCA(x,i),i\ )\)，因为是联通子图上延伸下来一条路径。

时间复杂度\(O(n^3)\)

因为是比赛的时候写的代码改的，所以比较丑。

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=420;
struct node{
    int to,next;
}a[N<<1];
int n,k,tot,num,ls[N],dep[N],f[N],lca[N][N],ans,dp[N][N][N],son[N];
bool mark[N];
void addl(int x,int y){
    a[++tot].to=y;
    a[tot].next=ls[x];
    ls[x]=tot;return;
}
bool calc(int x,int fa){
    dep[x]=dep[fa]+1;
    for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
        int y=a[i].to;
        if(y==fa)continue;
        f[y]=x;mark[x]|=calc(y,x);
    }
    return mark[x];
}
void dfs(int x,int fa){
    if(!mark[x])return;
    bool flag=1;
    for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
        int y=a[i].to;
        if(y==fa||!mark[y])continue;
        flag=0;break;
    }
    if(flag||x==1)son[++num]=x;
    for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
        int y=a[i].to;
        if(y==fa)continue;
        dfs(y,x);
    }
    return;
}
int LCA(int x,int y){
    while(dep[x]>dep[y])x=f[x];
    while(dep[y]>dep[x])y=f[y];
    while(x!=y)x=f[x],y=f[y];
    return x;
}
int dis(int x,int y)
{return dep[y]-dep[lca[x][y]];}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<n;i++){
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        addl(x,y);addl(y,x);
    }
    for(int i=1;i<=k;i++){
        int x;scanf("%d",&x);
        mark[x]=1;
    }
    calc(1,1);dfs(1,1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            lca[i][j]=LCA(i,j);
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
    ans=dp[1][1][0];dp[1][1][0]=0;son[++num]=1;
    for(int i=2;i<=num;i++)
        for(int x=1;x<i;x++)
            for(int y=1;y<i;y++){
                if(x!=i-1&&y!=i-1)continue;
                for(int z=0;z<n;z++){
                    int d=dis(son[x],son[i]);
                    dp[i][y][z]=min(dp[i][y][z],dp[x][y][z]+d);
                    d=dis(son[y],son[i]);
                    if(z>=d)dp[x][i][z]=min(dp[x][i][z],dp[x][y][z-d]);
                }
            }
    for(int i=0;i<=num;i++)
        for(int j=0;j<=num;j++){
            if(i!=num&&j!=num)continue;
            for(int z=0;z<n;z++)
                ans=min(ans,max(dp[i][j][z],z));
        }
    printf("%d\n",ans*2);
}