[火星补锅] 水题大战Vol.2 T2 && luogu P3623 [APIO2008]免费道路 题解

前言：

如果我自己写的话，或许能想出来正解，但是多半会因为整不出正确性而弃掉。

解析：

这题算是对Kruskal的熟练运用吧。

要求一颗生成树。也就是说，最后的边数是确定的。

首先我们容易想到一个策略：

先跑Kruskal，优先选k条石子路，剩下的选水泥路。

但是这样做显然是错误的。

因为，当随便选了k条石子路后，可能出现：

发现无论怎么选(n-1-k)条水泥路，也无法使图连通。如果这时选一条石子路，就可以保证连通性。

但是，发现这时已经选满了k条石子路，就没法再选石子路了。

我们可以通过设计一个策略来使这种情况不发生。

首先，我们可以优先用水泥路跑Kruskal，这时如果有一条石子路，如果不加上它，就无法保证连通性，那就将其打上标记，意思是这条石子路一定会出现在最后的答案里面。

第二遍Kruskal，先将上次打过标记的石子路加入并查集。然后，将石子路补成k条。

第三遍，补上水泥路。

这个策略为什么是正确的呢？

首先，可以发现，（设第一遍Kruskal找出了cnt条石子路）

执行第一遍Kruskal后，假如存在生成树，那么我们必然可以通过cnt条石子路+一些水泥路的方式来找到一颗生成树。

那么，此时我们再选一些石子路，相当于把一些水泥路换成了石子路。假如原来是有方案的，那么后面一定是有方案的。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxm=100000+10,maxn=20000+10;
#define gc() (p1 == p2 ? (p2 = buf + fread(p1 = buf, 1, 1 << 20, stdin), p1 == p2 ? EOF : *p1++) : *p1++)
#define read() ({ register int x = 0, f = 1; register char c = gc(); while(c < '0' || c > '9') { if (c == '-') f = -1; c = gc();} while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + (c & 15), c = gc(); f * x; })
char buf[1 << 20], *p1, *p2;
struct node{
	int from,to,op,flag;
}b[maxm],ans[maxm];
int n,m,k,cnt,tot;
int fa[maxn];
bool cmp1(node x,node y){
	return x.op>y.op;
}
int find(int x){
	return fa[x]==x ? x : (fa[x]=find(fa[x])) ;
}
void Merge(int x,int y){
	int rx=find(x);
	int ry=find(y);
	if(rx==ry) return;
	fa[rx]=ry;
}
void K1(){
	for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int x=b[i].from;
		int y=b[i].to;
		int rx=find(x);
		int ry=find(y);
		if(rx==ry) continue;
		fa[rx]=ry;
		if(b[i].op==0){
			b[i].flag=1;
			cnt++;
		}
	}
}
void K2(){
	for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;++i) if(b[i].flag) Merge(b[i].from,b[i].to);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		if(b[i].op) continue;
		int x=b[i].from;
		int y=b[i].to;
		int rx=find(x);
		int ry=find(y);
		if(rx==ry) continue;
		fa[rx]=ry;
		b[i].flag=1;
		cnt++;
		if(cnt==k) break;
	}
}
void K3(){
	for(int i=1;i<=m;++i){
		if(b[i].op==0) continue;
		int x=b[i].from;
		int y=b[i].to;
		int rx=find(x);
		int ry=find(y);
		if(rx==ry) continue;
		fa[rx]=ry;
		b[i].flag=1;
	}
}
void Solve(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%d%d%d",&b[i].from,&b[i].to,&b[i].op);
	sort(b+1,b+m+1,cmp1);
	K1();
	if(cnt>k){
		printf("-1\n");
		return;
	}
	int x=find(1);
	for(int i=2;i<=n;++i){
		if(find(i)!=x) {
			printf("-1\n");
			return;
		}
	}
	K2();
	if(cnt<k){
		printf("-1\n");
		return;
	}
	K3();
	for(int i=1;i<=m;++i){
		if(b[i].flag){
			printf("%d %d %d\n",b[i].from,b[i].to,b[i].op);
		}
	}
}
int main(){
	Solve();
	return 0;
}