回溯法、数独与N阶可达问题

　　回溯法是剪了枝的穷举，这是字面上的说法，不太好理解，不如讲解实例来的酸爽，于是引出了N阶可达问题：

　　有N个国家，每个国家有若干城市，小明要从中国（任意一个城市）出发，遍历所有国家（假设这个遍历顺序已经定了），最终到达美利坚（任意一个城市）。而城市之间有可能不可达，只有小明尝试过才知道（就是后面的check()函数），求满足要求的一条路径？

　　从上面的表述中我们已经嗅到了浓浓的穷举屌丝气质——遍历所有组合，但是我们的回溯思想总是基于这样一个简单的事实：如果当前选择导致你走进了死胡同，那么这个选择一定是错误的，同时基于这个错误的后续所有的选择都是错误而无意义的（剪枝）。道理的前半句表明我们要及时回溯，而后半句指出了这样做的优点是剪枝。比如小明要遍历中国---日本---美国，小明选择从中国武汉出发，这个选择是正确的还是错误的尚不明确，但是小明经过许多个check()之后发现，没有从武汉到日本任意一个城市的可达线路，这说明选择从武汉出发这个决定是错误的，应该回溯，重新选择一个中国的起点城市，小明在不知不觉中已经排除了形如（中国武汉市）---（日本XX市）---（美国XX市）的诸多组合，这就是所谓的剪了枝的穷举。

　　数独问题也是典型的N阶可达问题，下面以一个挖去64个洞的数独为例来具体说明，每个洞有1~9共9种可能性，一共要填64个洞，并且每填写好一个洞对后续的步骤会产生影响。

　　假设我们是从左到右，从上到下依次填写数字，那么此数独问题可以表达为如下的64阶可达问题：

　　根据回溯思想，采用递归函数（因为每层的情况是一样的，请读者思考如果不一样该如何编程）依次处理编号为0~80共计81个格子（代码略）。

　　下面我们用号称世界最难的数独题来测试一下程序，首先在程序同目录下建立sudoku.txt的文件，然后输入以下内容：

800000000
003600000
070090200
050007000
000045700
000100030
001000068
008500010
090000400

　　保存然后运行程序，得到如下结果。程序大约运行了60ms，在进行了49584次尝试之后找到了数独的解。

　　再来一发，号称专杀暴力破解的数独题试一下：

　　哇，好奇怪，世界最难数独都能在百毫秒内求解，为什么这个数独题居然花了大约37秒？莫非此数独真的有专杀暴力破解的神秘力量？前面我们说回溯只是做了剪枝的工作，下面这幅图展示了回溯到底做了什么：

剪枝后只用搜索红色部分

　　从本质上说，搜索是一维的，答案位于这个一维地图中的某处，你搜索速度的快慢取决于你的地图和答案在地图中的位置。前面我们尝试的顺序是123456789，现在我们尝试987654321这个搜索顺序，把程序修改一番，再次运行哪个两个数独，结果如下：

左为世界最难，右边为专杀暴力

　　上面我们只是改变了搜索顺序，只是一维地图的反转后搜索，相当于地图没变我们换了另一头搜索。在第一程序中，之所以很快能搜索到世界最难数独，而搜索专杀爆破很慢，是因为世界最难的答案离这一端很近，专杀爆破的答案离这一端很远。当我们在不改变地图的情况下换另一端开始搜索，就会出现上面的结果。

　　故在数独算法中，每个人都说自己的算法是高效的，并给出试验数据。实际上这个说法并不准确，只能说采用不同的方法，地图的规模不同，答案所在的位置也不同。对于同一个数独，你的算法你别人快并不能说明什么，因为必然存在专杀你这种搜索方法的数独存在。你的算法搜索的越快，换个姿势一定就会越慢。