【威佐夫博奕】 betty定理 poj 1067
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贝蒂定理 设a、b是正无理数且 1/a +1/b =1。记P={ [na] | n为任意的正整数},Q={ [nb] | n 为任意的正整数},([x]'指的是取x的整数部分)则P与Q是Z+的一个划分,即P∩Q为空集且P∪Q为正整数集合Z+。
根据betty定理,对于1/A+1/B=1,必有
Ua={trunc(A*k),k为正整数}
Ub={trunc(B*k),k为正整数}
Ua与Ub的并集构成正整数集且Ua于Ub不相交
所以设某个必败态的第一项为trunc(A*k),第二项为trunc(A*k+k)=trunc((A+1)*k)
则1/A+1/(A+1)=1,求得A为(sqrt(5)+1)/2;
发信人: charnugagoo (Daecharno]Yu[), 信区: ACM_ICPC
标 题: Re: poj 1067一道神奇的数学题
发信站: 北邮人论坛 (Thu Jul 16 10:43:30 2009), 站内
Source Code
Problem: 1067 User: yu_zhuoran
Memory: 384K Time: 0MS
Language: G++ Result: Accepted
Source Code
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{
double d = sqrt(5.0);
int m,n,t;
while(scanf("%d%d", &m, &n) != EOF)
{
if(m > n)
{
t = m;
m = n;
n = t;
}
t = n - m;
if(m == (int)(t*( + d) / ))
printf("0\n");
else
printf("1\n");
}
return ;
}
发信人: charnugagoo (Daecharno]Yu[), 信区: ACM_ICPC
标 题: Re: poj 1067一道神奇的数学题
发信站: 北邮人论坛 (Thu Jul 16 12:08:22 2009), 站内
威佐夫博奕(Wythoff Game):有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
这种情况下是颇为复杂的。我们用(ak,bk)(ak ≤ bk ,k=0,1,2,...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是: (0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20)。
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k,奇异局势有
如下三条性质:
1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。
2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势。如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势。
3。采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。
假设面对的局势是(a,b),若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(0,0);如果a = ak ,b > bk,那么,取走b - bk个物体,即变为奇异局势;如果 a = ak , b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局势( ab - ak , ab - ak+ b - ak);如果a > ak ,b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可;如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,第一种,a=aj (j < k),从第二堆里面拿走 b - bj 即可;第二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走 b - aj 即可。
从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,则后拿者取胜。
那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢?我们有如下公式:
ak =[k(1+√5)/2],bk= ak + k (k=0,1,2,...,n 方括号表示取整函数)
奇 妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2 = 1。618...,因此,由ak,bk组成的矩形近似为黄金矩形,由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a =[j(1+√5)/2],那么a = aj,bj = aj + j,若不等于,那么a = aj+1,bj+1 = aj+1+ j + 1,若都不是,那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异局势。
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