Luogu-P1450 [HAOI2008]硬币购物-完全背包+容斥定理

【Problem Description】

略

【Solution】

上述题目等价于：有$4$种物品，每种物品有$d_i$个，且每种物品的体积为$c_i$，问有多少种方法装满容量为$s$的背包？可以很容易想到跑多重背包即可，但是发现复杂度为$O(4V\cdot n)$。不可行。

题目要求的东西也等价于求以下等式有多少组满足条件的解：

\[c_1\cdot x_1+c_2\cdot x_2+c_3\cdot x_3+c_4\cdot x_4=s\\且0\le x1\le d_1,\ 0\le x_2\le d_2,\ 0\le x_3\le d_3,\ 0\le x_4\le d_4
\]

如果学过容斥定理的，就可以看出来这是容斥定理的一个模型。

即先不考虑$x_1,x_2,x_3,x_4$的上界限制条件，即每种物品有无限多个，那么就可以跑完全背包求得所有的方案数，令$\overline A_1,\overline A_2,\overline A_3,\overline A_4$分别代表$0\le x1\le d_1,\ 0\le x_2\le d_2,\ 0\le x_3\le d_3,\ 0\le x_4\le d_4$的条件，那么我们要求的就是满足$\overline A_1\cap \overline A_2\cap \overline A_3\cap \overline A_4$的方案数。有容斥原理公式得：

\[|\overline A_1\cap \overline A_2\cap \overline A_3\cap\overline A_4 |=|S|-(|A_1|+|A_2|+|A_3|+|A_4|)\\+(|A_1\cap A_2|+|A_1\cap A_3|+|A_1\cap A_4|+|A_2\cap A_3|+|A_2\cap A_4|+|A_3\cap A_4|)\\-(|A_1\cap A_2\cap A_3|+|A_1\cap A_2\cap A_4|+|A_1\cap A_3\cap A_4|+|A_2\cap A_3\cap A_4|)\\+(|A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4)\\
\]

对于$|A_1|$，我们知道$A_1\Leftrightarrow x_1\ge d_1+1$。所以$|A_1|$就表示$x_1\ge d_1+1,\ x_2,x_3,x_4\ge 0$时以下等式的解的个数：

\[c_1\cdot x_1+c_2\cdot x_2+c_3\cdot x_3+c_4\cdot x_4=s\\且x_1\ge d_1+1, x_2,x_3,x_4\ge 0
\]

令$z_1=x_1-(d_1+1)，z_2=x_2,z_3=x_3,z_4=x_4$，则原式变为在$z_1,z_2,z_3,z_4\ge 0$的条件下，求以下等式解的个数：

\[c_1\cdot z_1+c_2\cdot z_2+c_3\cdot z_3+c_4\cdot z_4=s-(d_1+1)\\且x_1,x_2,x_3,x_4\ge0
\]

预处理$10^5$以内容量为$i$方案数$dp[i]$。则$|A_1|=dp[s-(d_1+1)]$。同理$|A_i|=dp[s-(d_i+1)]$。

对于$|A_1\cap A_2|$等其他子集，也用类似方法转换为完全背包的做法。因为物品数只有$4$个，所以用位运算枚举子集，偶加奇数减即可。详细请看代码。复杂度为$O(4V+2^4\cdot n)$。

【Code】

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

using namespace std;

#define int long long

#define INF 0x3f3f3f3f

#define maxn 100005

int dp[maxn];

int c[5],d[5];

void CompleteBack(int V,int vol){ //完全背包

	for(int j=vol;j<=V;j++){

		dp[j]=dp[j]+dp[j-vol];

	}

}

signed main(){

	ios::sync_with_stdio(false);

	cin.tie(0);

	cin>>c[0]>>c[1]>>c[2]>>c[3];

	dp[0]=1;

	for(int i=0;i<4;i++){

		CompleteBack(maxn-5,c[i]);

	}

	int n;cin>>n;

	while(n--){

		cin>>d[0]>>d[1]>>d[2]>>d[3];int s;cin>>s;

		int ans=0;

		for(int i=0;i<(1<<4);i++){ //枚举子集

			int sum=s,num=0;

			for(int j=0;j<4;j++){

				if(i>>j&1){

					sum-=c[j]*(d[j]+1);	num++;

				}

			}

			if(sum<0) continue;

			if(num&1) ans-=dp[sum]; //偶加奇减

			else ans+=dp[sum];

		}

		cout<<ans<<endl;

	}

	return 0;

}