AT2000 Leftmost Ball

设\(f[i][j]\)表示当前有\(i\)个白球，一共放完了\(j\)种球

显然有\(j <= i\)

对于每个状态目前已经放下去的球是固定了的，那么考虑转移

• 放白球 从\(f[i - 1][j]\)转移
• 放没有出现过的球 \((n - j + 1) * f[i][j - 1] * C(k - 2, n * k - i - (j - 1) * (k - 1) - 1)\)

第二种的C是钦定第一个球放在已经构造好了的合法序列的后面第一个空位，然后剩下的\(k-2\)个球放在剩下的\(n * k - i - (j - 1) * (k - 1) - 1\)空位上。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2020;
const int mod = 1e9 + 7;

int inv[N * N], fac[N * N];
int f[N][N];
int n, k;

int power(int a, int b) {
	a %= mod; int ans = 1;
	while(b) {
		if(b & 1) ans = 1ll * ans * a % mod;
		a = 1ll * a * a % mod; b >>= 1;
	}
	return ans;
}

int C(int n, int m) {
	return 1ll * fac[m] * inv[n] % mod * inv[m - n] % mod;
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &k);
	if(k == 1) return printf("%d\n", 1), 0;
	fac[0] = 1;
	for(int i = 1; i < N * N; ++i)
		fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mod;
	for(int i = 0; i < N * N; ++i)
		inv[i] = power(fac[i], mod - 2);
	for(int i = 0; i <= n; ++i) f[i][0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		for(int j = 1; j <= i; ++j) {
			f[i][j] = f[i - 1][j];
			(f[i][j] += 1ll * (n - j + 1) * f[i][j - 1] % mod * C(k - 2, n * k - i - (j - 1) * (k - 1) - 1) % mod) %= mod;
			(f[i][j] += mod) %= mod;
		}
	}
	printf("%lld\n", (f[n][n] % mod + mod) % mod);
	return 0;
}