洛谷 P4707 【重返现世】

题目分析

题目就是求第K种原料的出现期望时间。

考虑广义min-max容斥。

\(\text{kthmax}(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\min(T)\)

显然\(\min(T)=\frac{m}{\sum\limits_{i\in S}p_i}\)。

发现\(m\)的范围很小，那么我们可以考虑设状态dp算贡献。

设\(f_{j,k}\)表示对于集合\(|S|\)，\(j=\sum\limits_{i\in S}p_i\)，集合大小为\(k\)的方案数。

转移显然。

但是时间复杂度为\(O(n^2m)\)，难以ac。

观察到还有\(|n-k|<=10\)的条件，考虑改变状态。

设\(f_{j,k}\)表示对于集合\(S\)，\(j=\sum\limits_{i\in S}p_i\)，

组合数下标为\(k\)的\(\sum\limits_{T}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\min(T)\)的值。

对于一个概率为\(v\)的新物品：

如果不加入，直接累加前面的答案。

如果加入，那么答案应该是从\(f_{j-v,k-1}\)转移过来。

我们观察一波式子(标解)

我们用\(g_{i,j}\)表示对于集合\(S\)，\(|S|=i\)，\(j= \sum\limits_{k\in S}p_k\)的方案数。

对于\(f_{j-v,k}\)：

\(f_{j-v,k-1}=\sum\limits_{i}(-1)^{i-k+1}\binom{i-1}{k-2}g_{i,j-v}\)

\(=-\sum\limits_{i}(-1)^{i-k}\binom{i-1}{k-2}g_{i,j-v}\)

增加一个物品后：

\(\triangle f_{j,k}=\sum\limits_i(-1)^{i-k+1}\binom{i}{k-1}g_{i,j-v}\)

\(=-\sum\limits_i(-1)^{i-k}\binom{i}{k-1}g_{i,j-v}\)

两式相减：

\(\triangle f_{j,k}-f_{j-v,k-1}=-\sum\limits_i(-1)^{i-k}\binom{i-1}{k-1}g_{i,j-v}\)

\(=-f_{j-v,k}\)

因此我们得到了递推式：

\(f_{j,k}=f'_{j,k}+f'_{j-v,k-1}-f'_{j-v,k}\)

因此我们就可以\(O(m*(n-k))\)解决dp。

答案就是\(\sum\limits_{i=1}^{m}\frac{m}{i}f_{i,k}\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int Getint(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))ch!='-'?:f=-1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
typedef long long ll;
const int mod=998244353;
int n,K,m,f[2][10005][15],p[1005];
int inv[10005];
ll Pow(ll x,ll k){
    ll ret=1;
    while(k){
        if(k&1)ret=ret*x%mod;
        k>>=1;x=x*x%mod;
    }
    return ret;
}
int main(){
    n=Getint();K=n-Getint()+1;m=Getint();
    for(int i=0;i<=m;i++)inv[i]=Pow(i,mod-2);
    for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=Getint();
    int cur=0,pre=1;
    for(int i=1;i<=10;i++)f[cur][0][i]=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cur^=1;pre^=1;
        for(int j=0;j<=m;j++)
            for(int k=1;k<=10;k++){
                f[cur][j][k]=f[pre][j][k];
                if(j>=p[i]){
                    f[cur][j][k]=(f[cur][j][k]-f[pre][j-p[i]][k])%mod;
                    if(k>0)f[cur][j][k]=(f[cur][j][k]+f[pre][j-p[i]][k-1])%mod;
                }
            }
    }
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)ans=(ans+1ll*f[cur][i][K]%mod*m%mod*inv[i])%mod;
    cout<<(ans+mod)%mod<<"\n";
}