JoyOI1391 走廊泼水节

一道另类生成树

原题链接

将输入的树的\(n-1\)条边按从小到大排序，然后\(Kruskal\)在生成该树的过程中计算新增边的总长。

当在连第\(i\)条边，设该边的两端点为\(x,y\)，长度为\(z\)，分别属于\(S_x\)和\(S_y\)两个并查集中。

而为了将树变成完全图，显然要将\(S_x,S_y\)两个并查集中所有点一一连边，所以除去原有的这条边，剩下共\(|S_x|\times|S_y|-1\)条边需要被添加。

而为了使完全图的最小生成树是原有树，所以在添加这\(|S_x|\times|S_y|-1\)条边时，必须使得这些边比原有边要长，同时由于要使得添加的边长和最小，所以这些边的长度均为\(z+1\)。

所以总长为\((z+1)\times(|S_x|\times|S_y|-1)\)，将其累加至答案即可。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 6010;
struct dd {
	int x, y, z;
};
dd a[N];
int fa[N], S[N];
int re()
{
	int x = 0;
	char c = getchar();
	bool p = 0;
	for (; c<'0' || c>'9'; c = getchar())
		p |= c == '-';
	for (; c >= '0'&&c <= '9'; c = getchar())
		x = x * 10 + (c - '0');
	return p ? -x : x;
}
int fin(int x)
{
	if (fa[x] == x)
		return x;
	return fa[x] = fin(fa[x]);
}
int comp(dd x, dd y)
{
	return x.z < y.z;
}
int main()
{
	int i, x, y, n, t;
	long long s;
	t = re();
	while (t--)
	{
		n = re();
		for (S[n] = i = 1, fa[n] = n; i < n; i++)
		{
			a[i].x = re();
			a[i].y = re();
			a[i].z = re();
			fa[i] = i;
			S[i] = 1;
		}
		sort(a + 1, a + n, comp);
		for (i = 1, s = 0; i < n; i++)
		{
			x = fin(a[i].x);
			y = fin(a[i].y);
			if (x != y)
			{
				s += 1LL * (a[i].z + 1)*(S[x] * S[y] - 1);
				fa[x] = y;
				S[y] += S[x];
			}
		}
		printf("%lld\n", s);
	}
	return 0;
}