【BZOJ 4816】 4816: [Sdoi2017]数字表格 (莫比乌斯)
4816: [Sdoi2017]数字表格
Time Limit: 50 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 666 Solved: 312Description
Doris刚刚学习了fibonacci数列。用f[i]表示数列的第i项,那么f[0]=0f[1]=1f[n]=f[n-1]+f[n-2],n>=2Doris用老师的超级计算机生成了一个n×m的表格,第i行第j列的格子中的数是f[gcd(i,j)],其中gcd(i,j)表示i,j的最大公约数。Doris的表格中共有n×m个数,她想知道这些数的乘积是多少。答案对10^9+7取模。Input
有多组测试数据。
第一个一个数T,表示数据组数。接下来T行,每行两个数n,mT<=1000,1<=n,m<=10^6Output
输出T行,第i行的数是第i组数据的结果Sample Input
3
2 3
4 5
6 7Sample Output
1
6
960HINT
Source
【分析】
额。。。加法变乘法有时候还是忍不住求和。。
推式子。。
$$Ans=\Pi \Pi f(gcd(i,j))$$
$$=\Pi f(d)^{\sum 1 [gcd(i,j)==d]}$$
$$=\Pi f(d)^{\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d} 1 [gcd(i,j)==1]}$$
$$=\Pi f(d)^{\sum \mu(d')*\lfloor\dfrac{n}{d*d'}\rfloor \lfloor\dfrac{m}{d*d'}\rfloor}$$
【啊好辛苦
设D=d*d'
$$Ans=\Pi_{D}\Pi_{d|D} f(d)^{\lfloor\dfrac{n}{D}\rfloor \lfloor\dfrac{m}{D}\rfloor*\mu(\dfrac{D}{d})}$$
$$=\Pi \Pi (f(d)^{\mu(D/d)})^{\lfloor\dfrac{n}{D}\rfloor \lfloor\dfrac{m}{D}\rfloor}$$
设$g(D)=\Pi_{d|D}f(d)^{\mu(D/d)}$
这个$O(nlogn)$预处理,后面的D在询问时$\sqrt n $分块即可。
因为有快速幂,所以是$O(nlogn)+T*\sqrt n*logn$
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define Maxn 1000010
#define Mod 1000000007 int g[Maxn],pri[Maxn],pl,mu[Maxn],f[Maxn];
int inv[Maxn],sm[Maxn];
bool vis[Maxn]; int qpow(int x,int b)
{
int ans=;
while(b)
{
if(b&) ans=1LL*ans*x%Mod;
x=1LL*x*x%Mod;
b>>=;
}
return ans;
} void init()
{
f[]=;f[]=;for(int i=;i<=Maxn-;i++) f[i]=(f[i-]+f[i-])%Mod;
for(int i=;i<=Maxn-;i++) inv[i]=qpow(f[i],Mod-);
memset(vis,,sizeof(vis));
mu[]=;
for(int i=;i<=Maxn-;i++)
{
if(!vis[i]) pri[++pl]=i,mu[i]=-;
for(int j=;j<=pl;j++)
{
if(i*pri[j]>Maxn-) break;
vis[i*pri[j]]=;
if(i%pri[j]==) {mu[i*pri[j]]=;break;}
mu[i*pri[j]]=-mu[i];
}
}
for(int i=;i<=Maxn-;i++) g[i]=;
sm[]=;
int i;
for(i=;i<=Maxn-;i++)
{
for(int j=i;j<=Maxn-;j+=i) if(mu[j/i]!=)
{
if(mu[j/i]==-) g[j]=1LL*g[j]*inv[i]%Mod;
else g[j]=1LL*g[j]*f[i]%Mod;
}
sm[i]=1LL*sm[i-]*g[i]%Mod;
}
} int main()
{
init();
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
if(n>m) swap(n,m);
int ans=;
for(int i=;i<=n;)
{
int x=n/i,y=m/i,r1=n/x,r2=m/y;
r1=min(r1,r2);
ans=1LL*ans*qpow(1LL*sm[r1]*qpow(sm[i-],Mod-)%Mod,1LL*x*y%(Mod-))%Mod;
i=r1+;
}
printf("%d\n",ans);
}
return ;
}
2017-04-26 20:21:03
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