【BZOJ 4816】 4816: [Sdoi2017]数字表格 （莫比乌斯）

4816: [Sdoi2017]数字表格

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Description

Doris刚刚学习了fibonacci数列。用f[i]表示数列的第i项，那么

f[0]=0

f[1]=1

f[n]=f[n-1]+f[n-2],n>=2

Doris用老师的超级计算机生成了一个n×m的表格，第i行第j列的格子中的数是f[gcd(i,j)]，其中gcd(i,j)表示i,

j的最大公约数。Doris的表格中共有n×m个数，她想知道这些数的乘积是多少。答案对10^9+7取模。

Input

有多组测试数据。

第一个一个数T，表示数据组数。

接下来T行，每行两个数n,m

T<=1000,1<=n,m<=10^6

Output

输出T行，第i行的数是第i组数据的结果

Sample Input

3
2 3
4 5
6 7

Sample Output

1
6
960

HINT

Source

鸣谢infinityedge上传

【分析】

　　额。。。加法变乘法有时候还是忍不住求和。。

　　推式子。。

　　$$Ans=\Pi \Pi f(gcd(i,j))$$

　　$$=\Pi f(d)^{\sum 1 [gcd(i,j)==d]}$$

　　$$=\Pi f(d)^{\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d} 1 [gcd(i,j)==1]}$$

　　$$=\Pi f(d)^{\sum \mu(d')*\lfloor\dfrac{n}{d*d'}\rfloor \lfloor\dfrac{m}{d*d'}\rfloor}$$

　　【啊好辛苦

　　设D=d*d'

　　$$Ans=\Pi_{D}\Pi_{d|D} f(d)^{\lfloor\dfrac{n}{D}\rfloor \lfloor\dfrac{m}{D}\rfloor*\mu(\dfrac{D}{d})}$$

　　$$=\Pi \Pi (f(d)^{\mu(D/d)})^{\lfloor\dfrac{n}{D}\rfloor \lfloor\dfrac{m}{D}\rfloor}$$

　　设$g(D)=\Pi_{d|D}f(d)^{\mu(D/d)}$

　　这个$O(nlogn)$预处理，后面的D在询问时$\sqrt n $分块即可。

　　因为有快速幂，所以是$O(nlogn)+T*\sqrt n*logn$

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define Maxn 1000010
 #define Mod 1000000007

 int g[Maxn],pri[Maxn],pl,mu[Maxn],f[Maxn];
 int inv[Maxn],sm[Maxn];
 bool vis[Maxn];

 int qpow(int x,int b)
 {
     int ans=;
     while(b)
     {
         if(b&) ans=1LL*ans*x%Mod;
         x=1LL*x*x%Mod;
         b>>=;
     }
     return ans;
 }

 void init()
 {
     f[]=;f[]=;for(int i=;i<=Maxn-;i++) f[i]=(f[i-]+f[i-])%Mod;
     for(int i=;i<=Maxn-;i++) inv[i]=qpow(f[i],Mod-);
     memset(vis,,sizeof(vis));
     mu[]=;
     for(int i=;i<=Maxn-;i++)
     {
         if(!vis[i]) pri[++pl]=i,mu[i]=-;
         for(int j=;j<=pl;j++)
         {
             if(i*pri[j]>Maxn-) break;
             vis[i*pri[j]]=;
             if(i%pri[j]==) {mu[i*pri[j]]=;break;}
             mu[i*pri[j]]=-mu[i];
         }
     }
     for(int i=;i<=Maxn-;i++) g[i]=;
     sm[]=;
     int i;
     for(i=;i<=Maxn-;i++)
     {
         for(int j=i;j<=Maxn-;j+=i) if(mu[j/i]!=)
         {
             if(mu[j/i]==-) g[j]=1LL*g[j]*inv[i]%Mod;
             else g[j]=1LL*g[j]*f[i]%Mod;
         }
         sm[i]=1LL*sm[i-]*g[i]%Mod;
     }
 }

 int main()
 {
     init();
     int T;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         int n,m;
         scanf("%d%d",&n,&m);
         if(n>m) swap(n,m);
         int ans=;
         for(int i=;i<=n;)
         {
             int x=n/i,y=m/i,r1=n/x,r2=m/y;
             r1=min(r1,r2);
             ans=1LL*ans*qpow(1LL*sm[r1]*qpow(sm[i-],Mod-)%Mod,1LL*x*y%(Mod-))%Mod;
             i=r1+;
         }
         printf("%d\n",ans);
     }
     return ;
 }

2017-04-26 20:21:03