CF230B T-primes 题解

原题链接

简要题意：

判断一个数是否只有 \(3\) 个因数。

首先，如果一个数有奇数个因数，那么这个数是完全平方数。

道理很简单：因数是成对的，那么必然存在 \(k^2 = n\)，此时 \(k\) 就是单个的，\(n\) 就是完全平方数。

但是，你会发现，并不是所有的完全平方数都一定有三个因数。

比方说： \(36\).

\(1 \space 2 \space 3 \space 4 \space6 \space 9 \space 12 \space 18 \space 36\)

一看这么多因数就不是3个

显然，我们发现：

若 \(n = k ^ 2\)，用 \(f_n\) 表示 \(n\) 的因数个数，则：

\[f_n = 2 \times f_k-1
\]

原因也很简单：因数是成对出现的，减去重复的 \(k\) 一个。

那么，此时；

\[2 \times f_k - 1 = 3
\]

\[f_k = 2
\]

也就是 \(f_k\) 是质数！

我们发现， \(n \leq 10^{12}\)，则 \(k \leq \sqrt{n} \leq 10^6\).

显然，我们可以欧拉筛出 \(\leq 10^6\) 的质数表，然后 \(O(1)\) 判断。

综上：

\(n\) 不是完全平方数，或者 \(\sqrt{n}\) 不是质数时，答案为 \(\texttt{NO}\).

否则答案为 \(\texttt{YES}\).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=1e6+1;

inline ll read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	ll x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

bool h[N];
int prime[N],f=0;

inline void Euler() {
	h[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++) {
		if(!h[i]) prime[++f]=i;
		for(int j=1;j<=f && i*prime[j]<N;j++) {
			h[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
} //欧拉筛模板

int main(){
	int T=read(); Euler(); while(T--) {
		ll n=read();
		if(n==1) puts("NO");
		else {
			ll q=sqrt(n);
			if(q*q-n || h[q]) puts("NO");
			else puts("YES");
		}
	}
	return 0;
}

洛谷上竟然标蓝题，我谔谔