「NOIP2009」Hankson 的趣味题

Hankson 的趣味题

【内存限制：$128 MiB$】【时间限制：$1000 ms$】

【标准输入输出】【题目类型：传统】【评测方式：文本比较】

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题目描述

Hanks 博士是 BT（Bio-Tech，生物技术）领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 $c_1$ 和 $c_2$ 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考「求公约数」和「求公倍数」这类问题的一个逆问题，这个问题是这样的：已知正整数 $a_0,a_1,b_0,b_1$，设某未知正整数 $x$ 满足：

1. $x$ 和 $a_0$ 的最大公约数是 $a_1$；

2. $x$ 和 $b_0$ 的最小公倍数是 $b_1$。

Hankson 的「逆问题」就是求出满足条件的正整数 $x$ 。但稍加思索之后，他发现这样的 $x$ 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 $x$ 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

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输入格式

第一行为一个正整数 $n$ ，表示有 $n$ 组输入数据。

接下来的 $n$ 行每行一组输入数据，为四个正整数 $a_0,a_1,b_0,b_1$，每两个整数之间用一个空格隔开。

输入数据保证 $a_0$ 能被 $a_1$ 整除，$b_1$ 能被 $b_0$ 整除。

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输出格式

共 $n$ 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 $x$，请输出 $0$；若存在这样的 $x$，请输出满足条件的 $x$ 的个数。

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样例

样例输入

2
41 1 96 288
95 1 37 1776

样例输出

6
2

样例说明

第一组输入数据，$x$ 可以是 $9,18,36,72,144,288$，共有 $6$ 个；

第二组输入数据，$x$ 可以是 $48,1776$，共有 $2$ 个。

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数据范围与提示

对于 $50\%$ 的数据，保证有 $a_0,a_1,b_0,b_1\leq 10^4$ 且 $n\le 100$。

对于 $100\%$ 的数据，保证有 $1\le a_0,a_1,b_0,b_1\le 2\times 10^9$ 且 $n\le 2000$。

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题解

做题经历

以为是数论，果断放弃，看了看数据，发现可以暴搜得一半的分，然后...... $rank$ 出来之后，发现自己 $250pts$ ......

正解

首先对于题意进行分析，题意要求的是

满足使得 $gcd(x,a_0)=a_1,lcm(x,b_0)=b_1$ 的 $x$ 有多少取值。

那么，我们将这些关系分析一下

首先可以肯定这个关系：$a_0\cdot k_1=x$

那么同理，这个关系也是肯定存在的：$x\cdot k_2=b_1$

那么将这两个等式综合一下，可得：$$a_0\cdot k_1k_2=x\cdot k_2=b_1$$

再浅显地理解一下，如果 $b_1%a_0 ≠ 0$ ，那么答案肯定是 $0$ 的。

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我们先设 $x={p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}......{p_n}^{k_n}$

然后，根据 $a_0,a_1$ 与 $b_0,b_1$ 分析他们分别对于 $x$ 有什么限制。

首先，我们看第一组 $a_0,a_1$

我们先设

$a_0={b_1}^{t_1}{b_2}^{t_2}......{b_m}^{t_m}$

$a_1={c_1}^{q_1}{c_2}^{q_2}......{c_v}^{q_v}$

首先根据 $gcd$ 的定义，我们可以知道每一个 $q_i=min\{k_i,t_i\}$

那么我们来讨论一下：

• 当 $q_i=t_i$ 时，$k_i≥t_i$，说明这时 $x$ 中的因数 $p_i$ 最少有 $k_i$ 个，但是可以无限多
• 当 $q_i≠t_i$ 时，若 $q_i<t_i$ 则无解，否则必定满足 $k_i=t_i$

然后再分别计数即可。

而对于第二组，也可以用同样的方法进行分析，具体细节不作赘述。

丢个代码：

想看代码？还在码中......