洛谷 P 4180 次小生成树

题目描述

小C最近学了很多最小生成树的算法，Prim算法、Kurskal算法、消圈算法等等。正当小C洋洋得意之时，小P又来泼小C冷水了。小P说，让小C求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说：如果最小生成树选择的边集是EM，严格次小生成树选择的边集是ES，那么需要满足：(value(e)表示边e的权值) \sum_{e \in E_M}value(e)<\sum_{e \in E_S}value(e)∑e∈EM​​value(e)<∑e∈ES​​value(e)

这下小 C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。

输入格式

第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。 接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。

输出格式

包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)

输入输出样例

输入 #1复制

5 6
1 2 1
1 3 2
2 4 3
3 5 4
3 4 3
4 5 6 

输出 #1复制

11

说明/提示

数据中无向图无自环； 50% 的数据N≤2 000 M≤3 000； 80% 的数据N≤50 000 M≤100 000； 100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9 。

题解

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstdio>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int M=1e5+100;
ll n,m,res,ans=0x3f3f3f3f,mx;
int f[M],fa[25][M],dep[M];
ll d[2][25][M];
bool used[3*M],vis[M];
vector<int> a[M];
struct Edge
{
    int from, to;
    ll val;
    bool operator < (const Edge y)
    {
        return val < y.val;
    }
} e[3*M];
int F(int x)
{
    if(f[x]==x)
        return x;
    return f[x]=F(f[x]);
}
void kruskal()  //kruskal 算最大生成树（已保证任意两点之间最小限重最优）
{
    sort(e,e+m);
    int lef=n-1;
    for(int i=1; i<=n; ++i)
        f[i]=i;
    for(int i=0; i<m && lef; ++i)
    {
        int x=F(e[i].from),y=F(e[i].to);
        if(x!=y)
        {
            f[x]=y;
            res+=e[i].val;
            used[i]=1;
            --lef;
            mx=max(mx, e[i].val);
        }
    }
}
void dfs(int x)     //深搜建树（可能不止一棵，因为数据未保证是连通图）
{
    vis[x]=true;
    for(int i=1; i<=23; ++i)
    {
        fa[i][x]=fa[i-1][fa[i-1][x]];
        ll t1=d[0][i-1][x], t2=d[0][i-1][fa[i-1][x]];
        d[0][i][x]=max(t1, t2);
        d[1][i][x]=max(d[1][i-1][x], d[1][i-1][fa[i-1][x]]);
        if(t1!=t2)
            d[1][i][x]=max(d[1][i][x], min(t1, t2));
    }
    for(int i=0; i<a[x].size(); ++i)
    {
        int t=e[a[x][i]].to+e[a[x][i]].from-x;
        if(vis[t])
            continue;    //vis为1表示是父节点
        dep[t]=dep[x]+1;
        fa[0][t]=x;
        d[0][0][t]=e[a[x][i]].val;
        dfs(t);
    }
}
int lca(int u,int v)
{
    if(dep[u]<dep[v])
        swap(u,v);
    if(dep[u]!=dep[v])      //将深度做相等
    {
        for(int i=23,h=dep[u]-dep[v]; i>=0; --i)
            if(h&(1<<i))
                u=fa[i][u];
    }
    if(u==v)
        return u;  //如果已经在一个节点上就直接返回
    for(int i=23; i>=0; --i)
        if(fa[i][u]!=fa[i][v])
            u=fa[i][u], v=fa[i][v];
    return fa[0][u];
}
ll get(int u,int v,int c)
{
    int fht=lca(u,v);
    ll m1=0,m2=0;
    for(int i=23,h1=dep[u]-dep[fht],h2=dep[v]-dep[fht]; i>=0; --i)
    {
        if(h1&(1<<i))
        {
            if(d[0][i][u]>m1)
                m2=m1,m1=d[0][i][u];
            else if(d[0][i][u]>m2)
                m2=d[0][i][u];
            else
                m2=max(m2, d[1][i][u]);
        }
        if(h2&(1<<i))
        {
            if(d[0][i][v]>m1)
                m2=m1,m1=d[0][i][v];
            else if(d[0][i][v]>m2)
                m2=d[0][i][v];
            else
                m2=max(m2, d[1][i][v]);
        }
    }
    if(m1==c)
        return c-m2;
    else
        return c-m1;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0; i<m; ++i)
    {
        int u,v;
        ll w;
        scanf("%d%d%lld",&u,&v,&w);
        e[i].from=u;
        e[i].to=v;
        e[i].val=w;
    }
    kruskal();
    for(int i=0; i<m; ++i)
        if(used[i])
        {
            a[e[i].from].push_back(i);
            a[e[i].to].push_back(i);
        }
    dep[1]=1;
    dfs(1);
    for(int i=0; i<m; ++i)
        if(!used[i])
        {
            if(e[i].val-mx>ans)
                break;
            ll t=get(e[i].from, e[i].to, e[i].val);
            ans=min(ans, t);
        }
    return printf("%lld\n",res+ans),0;
}