[USACO 08MAR]土地购买

Description

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给你 \(n\) 块不同大小的土地。你可分批购买这些土地，每一批价格为这一批中最大的长乘最大的宽。问你买下所有土地的花费最小为多少。

\(1\leq n\leq 50000\)

Solution

有一个贪心的思想就是一块土地如果是 \(w_i\times h_i\)，若 \(\exists j\) 满足 \(w_i\leq w_j,h_i\leq h_j\)。那么 \(i\) 这块土地一定不会参与到花费计算的。这是因为 \(i\) 这块土地可以放在 \(j\) 那一批，然后 \(i\) 的长和宽一定不是最大的。

因此我们把这些土地按 \(w\) 从小到大排序，那么 \(h\) 一定是单调递减的。基于此，我们还可以得出另外一个结论，同一批次在这个序列中一定是连续的一段。这是因为这一段的 \(w,h\) 最大值一定是在端点取，你把中间某个地不放在这一段是对这一段的花费不产生影响的，因此不如选上这一个点。

基于上述两个结论，我们可以对排完序的序列进行 DP。记 \(f_i\) 表示购买 \(1\sim i\) 的土地的最小的花费，那么 \(f_i=\min\{f_j+w_i\times h_j\}\)。

由于 \(w_i\) 和 \(h_j\) 单调性相反，因此可以用单调队列维护上凸包斜率优化解决。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 50000+5;

int n, tot, q[N], head, tail;
struct tt {
    int w, h;
    bool operator < (const tt &b) const {
        return w == b.w ? h < b.h : w < b.w;
    }
} a[N], b[N];
long long f[N];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &a[i].w, &a[i].h);
    sort(a+1, a+n+1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        while (tot && b[tot].h <= a[i].h) --tot;
        b[++tot] = a[i];
    }
    n = tot; tail = -1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        while (head < tail && (-f[i-1]+f[q[tail]-1])*(b[i].h-b[q[tail-1]].h)
        <= (-f[i-1]+f[q[tail-1]-1])*(b[i].h-b[q[tail]].h)) --tail;
        q[++tail] = i;
        while (head < tail && -f[q[head]-1]+f[q[head+1]-1] <= 1ll*b[i].w*(b[q[head]].h-b[q[head+1]].h)) ++head;
        f[i] = f[q[head]-1]+1ll*b[q[head]].h*b[i].w;
    }
    printf("%lld\n", f[n]);
    return 0;
}