ACM -- 算法小结（二）错排公式的应用

pala提出的问题: 十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？ 

这个问题推广一下，就是错排问题: n个有序的元素应有n！种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上，则称这个排列为错排。

 

HDOJ RPG的错排

Problem Description

今年暑假杭电ACM集训队第一次组成女生队,其中有一队叫RPG,但做为集训队成员之一的野骆驼竟然不知道RPG三个人具体是谁谁。RPG给他机会让他猜猜，第一次猜：R是公主，P是草儿，G是月野兔；第二次猜：R是草儿，P是月野兔，G是公主；第三次猜：R是草儿，P是公主，G是月野兔；......可怜的野骆驼第六次终于把RPG分清楚了。由于RPG的带动，做ACM的女生越来越多，我们的野骆驼想都知道她们，可现在有N多人，他要猜的次数可就多了，为了不为难野骆驼，女生们只要求他答对一半或以上就算过关，请问有多少组答案能使他顺利过关。

Input

输入的数据里有多个case,每个case包括一个n，代表有几个女生，（n<=25）, n = 0输入结束。

Sample Input

1

2

0

Sample Output

1

1

 

• 解题思路：

　　求0到n/2的所有错排和注意到对于i个人的错排的时候，还应该在错排前面乘上一个C（n，i）代表选取i个人进行错排

 #include<stdio.h>
 #include<math.h>
 #define e exp(1.0)
 __int64 ans[];
 __int64 f[];
 double p(int n)
 {
      int i;
      double res=1.0;
      for(i=;i<=n;i++)
           res=res*i;
      return res;
 }

 __int64 C(int n,int r)
 {
      __int64 res=;
                 __int64 i;
      for(i=;i<=r;i++)
      {
           res=res*(n-i+);
           res=res/i;
      }
      return res;
 }
 void init()
 {
      int i,j;
      for(i=;i<=;i++)
           f[i]=(__int64)(p(i)/e+0.5);   //注释1
      ans[]=;
                 f[]=;

      for(i=;i<=;i++)
      {
           for(j=;j<=i/;j++)
                ans[i]=ans[i]+f[j]*C(i,j);
      }
 }

 int main()
 {
      int n;
      init();
      while(scanf("%d",&n)!=EOF)
      {
           if(n==)
                break;
           printf("%I64d\n",ans[n]);
      }
      return ;
 }

注释1：错排问题，对于n个元素，对其重新排列，使得恰好有m个元素在原来的位置的排列总数P(n,m)

定理：令f(n) = P(n,0),则f(n) = (n-1)*f(n-1) + (n-1)*f(n-2)

定理：P(n,m) = (n!/m!)(1 - 1/1! + 1/2! -1/3! + …+ (-1)^(n-m) * 1/((n-m)!))

当m=0时，f(n) = P(n,0) = n! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + … + ((-1)^n)/n! )

由级数知识化简为 f(n) = (n!/e +0.5) 整数向下取整