动态树Link-cut tree(LCT)总结

动态树是个好玩的东西

LCT题集

预备知识

Splay

树链剖分(好像关系并不大)

动态树(Link-cut tree)

先搬dalao博客

• 什么是LCT?
  
  动态树是一类要求维护森林的连通性的题的总称，这类问题要求维护某个点到根的某些数据，支持树的切分，合并，以及对子树的某些操作。其中解决这一问题的某些简化版（不包括对子树的操作）的基础数据结构就是LCT(link-cut tree)。
  
  LCT的大体思想类似于树链剖分中的轻重链剖分，轻重链剖分是处理出重链来，由于重链的定义和树链剖分是处理静态树所限，重链不会变化，变化的只是重链上的边或点的权值，由于这个性质，我们用线段树来维护树链剖分中的重链，但是LCT解决的是动态树问题（包含静态树），所以需要用更灵活的Splay来维护这里的“重链”

讲了这么多,其实就是维护森林的树链剖分,每一条链用Splay维护

LCT的主要性质

1. 每一个Splay维护的是一条从上到下按在原树中深度严格递增的路径，且中序遍历Splay得到的每个点的深度序列严格递增。
   
   比如有一棵树，根节点为1（深度1），有两个儿子2,3（深度2），那么Splay有3种构成方式：
   
   {1−2},{3}
   
   {1−3},{2}
   
   {1},{2},{3}（每个集合表示一个Splay）
   
   而不能把1,2,3同放在一个Splay中（存在深度相同的点）

2. 每个节点包含且仅包含于一个Splay中

3. 边分为实边和虚边，实边包含在Splay中，而虚边总是由一棵Splay指向另一个节点（指向该Splay中中序遍历最靠前的点在原树中的父亲）。
   
   因为性质2，当某点在原树中有多个儿子时，只能向其中一个儿子拉一条实链（只认一个儿子），而其它儿子是不能在这个Splay中的。
   
   那么为了保持树的形状，我们要让到其它儿子的边变为虚边，由对应儿子所属的Splay的根节点的父亲指向该点，而从该点并不能直接访问该儿子（认父不认子）。

各种操作

access(x)

打通\(x\)到动态树的根的路径(使路径上的所有点在同一个Splay中)

void access(int x) {
	for (int y = 0; x; y = x, x = t[x].fa)
		splay(x), t[x].ch[1] = y, pushup(x);
	return ;
}

makeroot(x)

使\(x\)变成动态树的根

void makeroot(int x) {
	access(x); splay(x);putrev(x);
	return ;
}

findroot(x)

用来判断连通性(类似并查集)（findroot(x)==findroot(y)表明x,y在同一棵树中）

inline int findroot(int x) {
	access(x); splay(x);
	while (t[x].ch[0]) pushdown(x), x = t[x].ch[0];
	return x;
}

split(x,y)

打通\(x\)到\(y\)的路径(类似access)

void split(int x, int y) {
	makeroot(x), access(y), splay(y);
	return ;
}

link(x,y)

连接\(x-y\)

void link(int x, int y) {
	makeroot(x);
	if (findroot(y) == x) return ;//已经连通
	t[x].fa = y;//如果写成t[y].fa = x, y与原先的树就断开,就不会与其连通
	return ;
}

cut(x, y)

断开\(x-y\)

void cut(int x, int y) {
	makeroot(x);
	if (findroot(y) == x && t[x].fa == y && !t[x].ch[1])//满足它们直接连接才断开
		t[x].fa = t[y].ch[0] = 0, pushup(y);
	return ;
}

例题

洛谷P3690 【模板】Link Cut Tree （动态树）

Code

#include<bits/stdc++.h>

#define LL long long
#define RG register
const int N = 300010;
using namespace std;

inline int gi() {
	RG int x = 0; RG char c = getchar(); bool f = 0;
	while (c != '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar();
	if (c == '-') c = getchar(), f = 1;
	while (c >= '0' && c <= '9') x = x*10+c-'0', c = getchar();
	return f ? -x : x;
}

struct node {
	int v, s, fa, ch[2];
	bool rev;
}t[N];
int S[N], top;
void putrev(int x) {
	swap(t[x].ch[0], t[x].ch[1]);
	t[x].rev ^= 1;
	return ;
}
#define pushup(x) (t[x].s = (t[x].v^t[t[x].ch[0]].s^t[t[x].ch[1]].s))
void pushdown(int x) {
	if (t[x].rev) {
		if (t[x].ch[0]) putrev(t[x].ch[0]);
		if (t[x].ch[1]) putrev(t[x].ch[1]);
		t[x].rev = 0;
	}
	return ;
}
#define get(x) (t[t[x].fa].ch[1]==x)
bool isroot(int x) {
	return (t[t[x].fa].ch[0] != x) && (t[t[x].fa].ch[1] != x);
}
void rotate(int x) {
	int k = get(x), y = t[x].fa, z = t[y].fa;
	if (!isroot(y)) t[z].ch[get(y)] = x;
	t[x].fa = z;
	t[t[x].ch[k^1]].fa = y, t[y].ch[k] = t[x].ch[k^1];
	t[y].fa = x, t[x].ch[k^1] = y;
	pushup(y);
	return ;
}
void splay(int x) {
	S[top = 1] = x;
	for (RG int i = x; !isroot(i); i = t[i].fa) S[++top] = t[i].fa;
	for (RG int i = top; i; i--) pushdown(S[i]);
	while (!isroot(x)) {
		int y = t[x].fa;
		if (!isroot(y))
			(get(x) ^ get(y)) ? rotate(x) : rotate(y);
		rotate(x);
	}
	pushup(x);
	return ;
}
void access(int x) {
	for (int y = 0; x; y = x, x = t[x].fa)
		splay(x), t[x].ch[1] = y, pushup(x);
	return ;
}
void makeroot(int x) {
	access(x); splay(x);putrev(x);
	return ;
}
inline int findroot(int x) {
	access(x); splay(x);
	while (t[x].ch[0]) pushdown(x), x = t[x].ch[0];
	return x;
}
void link(int x, int y) {
	makeroot(x);
	if (findroot(y) == x) return ;
	t[x].fa = y;
	return ;
}
void split(int x, int y) {
	makeroot(x), access(y), splay(y);
	return ;
}
void cut(int x, int y) {
	makeroot(x);
	if (findroot(y) == x && t[x].fa == y && !t[x].ch[1])
		t[x].fa = t[y].ch[0] = 0, pushup(y);
	return ;
}

int main() {
	int n = gi(), T = gi();
	for (RG int i = 1; i <= n; i++) t[i].v = gi();
	while (T--) {
		int op = gi(), x = gi(), y = gi();
		if (!op) {
			split(x, y);
			printf("%d\n", t[y].s);
		}
		else if (op == 1) link(x, y);
		else if (op == 2) cut(x, y);
		else {
			access(x); splay(x); t[x].v = y; pushup(x);
		}
	}
	return 0;
}