特征根法求通项+广义Fibonacci数列找循环节 - HDU 5451 Best Solver

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Mean:

给出x和M，求：(5+2√6）^(1+2x)的值。x<2^32，M<=46337.

analyse:

这题需要用到高中的数学知识点：特征根法求递推数列通项公式。

方法是这样的：

对于这题的解法：

记λ1=5+2√6，λ2=5-2√6，则λ1λ2=1，λ1+λ2=10

根据韦达定理可以推导出：λ1，λ2的特征方程为 x^2-10x+1=0

根据λ1=5+2√6，λ2=5-2√6是特征方程x^2-10x+1=0的解，可以求出：b=-10，c=1

再使用该特征方程反向推导出递推公式为：a[n]=10*a[n-1]-a[n-2]

再由特征根法确定通项为：a[n]=(5+2√6)^n+(5-2√6)^n

观察通项，发现(5-2√6)^n<1，(5+2√6)^n>1。并且可以确定(5+2√6)^n的整数部分的值为a[n]-1

到这里，可以利用线性递推公式a[n]=10*a[n-1]-a[n-2]，构造矩阵来找循环节。

为什么要找循环节呢？

因为n=2^x相当大，而模数M<=46337，对于每一个模数M，都存在循环节，这样的话我们就不需要完整的计算n次幂运算了。

而且我们发现这些循环节都比较小，所以我们可以直接暴力求矩阵循环节。

Time complexity: O(N+logx)

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