原文转载自:http://blog.csdn.net/yzl_rex/article/details/7908259

回文串定义:“回文串”是一个正读和反读都一样的字符串,比如“level”或者“noon”等等就是回文串。回文子串,顾名思义,即字符串中满足回文性质的子串。

经常有一些题目围绕回文子串进行讨论,比如POJ3974最长回文,求最长回文子串的长度。朴素算法是依次以每一个字符为中心向两侧进行扩展,显然这个复杂度是O(N^2)的,关于字符串的题目常用的算法有KMP、后缀数组、AC 自动机,这道题目利用扩展KMP可以解答,其时间复杂度也很快O(N*logN)。

但是,今天笔者介绍一个专门针对回文子串的算法,其时间复杂度为O(n),这就是manacher 算法

大家都知道,求回文串时需要判断其奇偶性,也就是求aba 和abba 的算法略有差距。然而,这个算法做了一个简单的处理,很巧妙地把奇数长度回文串与偶数长度回文串统一考虑,也就是在每个相邻的字符之间插入一个分隔符,串的首尾也要加,当然这个分隔符不能再原串中出现,一般可以用‘#’或者‘$’等字符。例如:

原串:abaab

新串:#a#b#a#a#b#

这样一来,原来的奇数长度回文串还是奇数长度,偶数长度的也变成以‘#’为中心奇数回文串了

算法的中心思想

用一个辅助数组P 记录以每个字符为中心的最长回文半径,也就是P[i]记录以Str[i]字符为中心的最长回文串半径。P[i]最小为1,此时回文串为Str[i]本身。

我们可以对上述例子写出其P 数组,如下

新串: # a # b # a # a # b #

P[] : 1 2 1 4 1 2 5 2 1 2 1

我们可以证明P[i]-1 就是以Str[i]为中心的回文串在原串当中的长度。

证明:

1、显然L=2*P[i]-1 即为新串中以Str[i]为中心最长回文串长度。

2、以Str[i]为中心的回文串一定是以#开头和结尾的,例如“#b#b#”或“#b#a#b#”所以L 减去最前或者最后的‘#’字符就是原串中长度 的二倍,即原串长度为(L-1)/2,化简的P[i]-1。得证。

依次从前往后求得P 数组就可以了,这里用到了DP(动态规划)的思想, 也就是求P[i] 的时候,前面的P[]值已经得到了,我们利用回文串的特殊性质可以进行一个大大的优化。

先把核心代码贴上:

   for (i = 0; i < len; i++){
if (maxid > i){
p[i] = min(p[2*id - i], maxid - i);
}
else{
p[i] = 1;
}
while (newstr[i+p[i]] == newstr[i-p[i]])
p[i]++;
if (p[i] + i > maxid){
maxid = p[i] + i;
id = i;
}
if (ans < p[i])
ans = p[i];
}

为了防止求P[i]向两边扩展时可能数组越界,我们需要在数组最前面和最后面加一个特殊字符,令P[0]=‘$’最后位置默认为‘\0’不需要特殊处理。此外,我们用MaxId 变量记录在求i 之前的回文串中,延伸至最右端的位置,同时用id 记录取这个MaxId 的id 值。通过下面这句话,算法避免了很多没必要的重复匹配。


if (maxid > i){
p[i] = min(p[2*id - i], maxid - i);
}

那么这句话是怎么得来的呢,其实就是利用了回文串的对称性,如下图,

j=2*id-1 即为i 关于id 的对称点,根据对称性,P[j]的回文串也是可以对称到i 这边的,但是如果P[j]的回文串对称过来以后超过MaxId 的话,超出部分就不能对称过来了,如下图,

所以这里P[i]为的下限为两者中的较小者,p[i]=Min(p[2*id-i],MaxId-i)。算法的有效比较次数为MaxId 次,所以说这个算法的时间复杂度为O(n)。

下面就贴一个具体代码,求解最长回文字符串的代码:

 #include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
using namespace std;
const int MAX = 100001;
int len, p[2*MAX];
char str[2*MAX], newstr[2*MAX]; void change()
{
int i;
newstr[0] = '@';
newstr[1] = '#';
for (i = 0; i < len; i++){
newstr[2*i + 2] = str[i];
newstr[2*i + 3] = '#';
}
newstr[2*len + 2] = '\0';
return ;
} void Manacher()
{
int i, j, id, maxid = 0, ans = 1;
len = 2 * len + 2;
for (i = 0; i < len; i++){
if (maxid > i){
p[i] = min(p[2*id - i], maxid - i);
}
else{
p[i] = 1;
}
while (newstr[i+p[i]] == newstr[i-p[i]])
p[i]++;
if (p[i] + i > maxid){
maxid = p[i] + i;
id = i;
}
if (ans < p[i])
ans = p[i];
} for (i = id, j = 0; i < id + ans; i++){
if (newstr[i] != '#'){
str[j] = newstr[i];
j++;
}
}
str[id+ans] = '\0';
cout << ans - 1 << " " << str << endl;
return ;
} int main()
{
while (scanf("%s", &str)){
if (strcmp(str, "END") == 0) break;
len = strlen(str);
change();
Manacher();
} system("pause");
}

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