转载:字符串HASH
转载自:Slager_Z
字符串Hash总结
Hash是什么意思呢?某度翻译告诉我们:
hash 英[hæʃ] 美[hæʃ]
n. 剁碎的食物; #号; 蔬菜肉丁;
vt. 把…弄乱; 切碎; 反复推敲; 搞糟;
我觉得Hash是引申出 把...弄乱 的意思。
今天就来谈谈Hash的一种——字符串hash。
据我的理解,Hash就是一个像函数一样的东西,你放进去一个值,它给你输出来一个值。输出的值就是Hash值。一般Hash值会比原来的值更好储存(更小)或比较。
那字符串Hash就非常好理解了。就是把字符串转换成一个整数的函数。而且要尽量做到使字符串对应唯一的Hash值。
字符串Hash的种类还是有很多种的,不过在信息学竞赛中只会用到一种名为“BKDR Hash”的字符串Hash算法。
它的主要思路是选取恰当的进制,可以把字符串中的字符看成一个大数字中的每一位数字,不过比较字符串和比较大数字的复杂度并没有什么区别(高精数的比较也是O(n)O(n)的),但只要把它对一个数取模,然后认为取模后的结果相等原数就相等,那么就可以在一定的错误率的基础上O(1)O(1)进行判断了。
那么我们选择什么进制比较好?
首先不要把任意字符对应到数字0,比如假如把a对应到数字0,那么将不能只从Hash结果上区分ab和b(虽然可以额外判断字符串长度,但不把任意字符对应到数字0更加省事且没有任何副作用),一般而言,把a-z对应到数字1-26比较合适。
关于进制的选择实际上非常自由,大于所有字符对应的数字的最大值,不要含有模数的质因子(那还模什么),比如一个字符集是a到z的题目,选择27、233、19260817都是可以的。
模数的选择(尽量还是要选择质数):
绝大多数情况下,不要选择一个109109级别的数,因为这样随机数据都会有Hash冲突,根据生日悖论,随便找上109−−−√109个串就有大概率出现至少一对Hash 值相等的串(参见BZOJ 3098 Hash Killer II)。
最稳妥的办法是选择两个109109级别的质数,只有模这两个数都相等才判断相等,但常数略大,代码相对难写,目前暂时没有办法卡掉这种写法(除了卡时间让它超时)(参见BZOJ 3099 Hash Killer III)。
如果能背过或在考场上找出一个10181018级别的质数(Miller-Rabin),也相对靠谱,主要用于前一种担心会超时,后一种担心被卡。
偷懒的写法就是直接使用unsigned long long,不手动进行取模,它溢出时会自动对264264进行取模,如果出题人比较良心,这种做法也不会被卡,但这个是完全可以卡的,卡的方法参见BZOJ 3097 Hash Killer I。
用luogu P3370为例。
这是自然溢出hash(100)
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
ull base=;
ull a[];
char s[];
int n,ans=;
ull hashs(char s[])
{
int len=strlen(s);
ull ans=;
for (int i=;i<len;i++)
ans=ans*base+(ull)s[i];
return ans&0x7fffffff;
}
main()
{
scanf("%d",&n);
for (int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%s",s);
a[i]=hashs(s);
}
sort(a+,a+n+);
for (int i=;i<=n;i++)
if (a[i]!=a[i-])
ans++;
printf("%d\n",ans);
}
这是单模数hash(80)
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
ull base=;
ull a[];
char s[];
int n,ans=;
ull mod=;
ull hashs(char s[])
{
int len=strlen(s);
ull ans=;
for (int i=;i<len;i++)
ans=(ans*base+(ull)s[i])%mod;
return ans;
}
main()
{
scanf("%d",&n);
for (int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%s",s);
a[i]=hashs(s);
}
sort(a+,a+n+);
for (int i=;i<=n;i++)
if (a[i]!=a[i-])
ans++;
printf("%d\n",ans);
}
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
ull base=;
struct data
{
ull x,y;
}a[];
char s[];
int n,ans=;
ull mod1=;
ull mod2=;
ull hash1(char s[])
{
int len=strlen(s);
ull ans=;
for (int i=;i<len;i++)
ans=(ans*base+(ull)s[i])%mod1;
return ans;
}
ull hash2(char s[])
{
int len=strlen(s);
ull ans=;
for (int i=;i<len;i++)
ans=(ans*base+(ull)s[i])%mod2;
return ans;
}
bool comp(data a,data b)
{
return a.x<b.x;
}
main()
{
scanf("%d",&n);
for (int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%s",s);
a[i].x=hash1(s);
a[i].y=hash2(s);
}
sort(a+,a+n+,comp);
for (int i=;i<=n;i++)
if (a[i].x!=a[i-].x || a[i-].y!=a[i].y)
ans++;
printf("%d\n",ans);
}
这是只用一个10^18质数的hash(100)
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
ull base=;
ull a[];
char s[];
int n,ans=;
ull mod=212370440130137957ll;
ull hashs(char s[])
{
int len=strlen(s);
ull ans=;
for (int i=;i<len;i++)
ans=(ans*base+(ull)s[i])%mod;
return ans;
}
main()
{
scanf("%d",&n);
for (int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%s",s);
a[i]=hashs(s);
}
sort(a+,a+n+);
for (int i=;i<=n;i++)
if (a[i]!=a[i-])
ans++;
printf("%d\n",ans);
}
Hash还有一方面,就是它可以处理子串信息。对于一个字符串,我们可以预处理它1−l1−l的hash值,这样l+1l+1的hash值就可以O(1)O(1)的递推出来。
对于一个字符串l−rl−r的子串,我们可以用f[r]−br−l+1f[l−1]f[r]−br−l+1f[l−1]来求出来,其中b表示进制。
这样的话hash就可以水过字符串匹配的题目
【题目描述】
法国作家乔治·佩雷克(Georges Perec,1936-1982)曾经写过一本书,《敏感字母》(La disparition),全篇没有一个字母‘e’。他是乌力波小组(Oulipo Group)的一员。下面是他书中的一段话:
Tout avait Pair normal, mais tout s’affirmait faux. Tout avait Fair normal, d’abord, puis surgissait l’inhumain, l’affolant. Il aurait voulu savoir où s’articulait l’association qui l’unissait au roman : stir son tapis, assaillant à tout instant son imagination, l’intuition d’un tabou, la vision d’un mal obscur, d’un quoi vacant, d’un non-dit : la vision, l’avision d’un oubli commandant tout, où s’abolissait la raison : tout avait l’air normal mais…
佩雷克很可能在下面的比赛中得到高分(当然,也有可能是低分)。在这个比赛中,人们被要求针对一个主题写出甚至是意味深长的文章,并且让一个给定的“单词”出现次数尽量少。我们的任务是给评委会编写一个程序来数单词出现了几次,用以得出参赛者最终的排名。参赛者经常会写一长串废话,例如500000个连续的‘T’。并且他们不用空格。
因此我们想要尽快找到一个单词出现的频数,即一个给定的字符串在文章中出现了几次。更加正式地,给出字母表{'A','B','C',...,'Z'}和两个仅有字母表中字母组成的有限字符串:单词W和文章T,找到W在T中出现的次数。这里“出现”意味着W中所有的连续字符都必须对应T中的连续字符。T中出现的两个W可能会部分重叠。
【输入格式】
输入包含多组数据。
输入文件的第一行有一个整数,代表数据组数。接下来是这些数据,以如下格式给出:
第一行是单词W,一个由{'A','B','C',...,'Z'}中字母组成的字符串,保证1<=|W|<=10000(|W|代表字符串W的长度)
第二行是文章T,一个由{'A','B','C',...,'Z'}中字母组成的字符串,保证|W|<=|T|<=1000000。
【输出格式】
对每组数据输出一行一个整数,即W在T中出现的次数。
【样例输入】
3
BAPC
BAPC
AZA
AZAZAZA
VERDI
AVERDXIVYERDIAN
【样例输出】
1
3
0
代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
ull base=;
ull po[],hs[*];
char s1[],s2[*];
int n,ans=,T;
ull geth(int l,int r)
{
return (ull)hs[r]-po[r-l+]*hs[l-];
}
main()
{
freopen("oulipo.in","r",stdin);
freopen("oulipo.out","w",stdout);
po[]=;
for (int i=;i<=-;i++)
po[i]=po[i-]*base;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%s%s",s1+,s2+);
int l1=strlen(s1+),l2=strlen(s2+);
ull a1=,ans=;
for (int i=;i<=l1;i++)
a1=a1*base+(ull)s1[i];
for (int i=;i<=l2;i++)
hs[i]=hs[i-]*base+s2[i];
for (int i=;i+l1-<=l2;i++)
if (a1==geth(i,i+l1-))
ans++;
printf("%d\n",ans);
}
}
写到这里突然发现hash好像可以暴力水过很多字符串算法。。
1、kmp
问题:给两个字符串S1,S2,求S2是否是S1的子串,并求S2在S1中出现的次数
把S2 Hash出来,在S1里找所有长度为|S2||S2|的子串,Hash比较。效率O(|S1|)O(|S1|)
2、AC自动机
问题:给N个单词串,和一个文章串,求每个单词串是否是文章串的子串,并求每个单词在文章中出现的次数。
把每一个单词hash成整数,再把文章的每一个子串hash成整数,接下来只需要进行整数上的查找即可。
复杂度:O(|A|2+|S|)O(|A|2+|S|)
用AC自动机可以做到O(|A|+|S|)O(|A|+|S|)的复杂度,|S||S|是单词串总长,|A||A|是文章长度
3、后缀数组
问题:给两个字符串S1,S2,求它们的最长公共子串的长度。
将S1的每一个子串都hash成一个整数,将S2的每一个子串都hash成一个整数
两堆整数,相同的配对,并且找到所表示的字符串长度最大的即可。
复杂度:O(|S1|2+|S2|2)O(|S1|2+|S2|2)
用后缀数组可以优化到O(|S|log|S|)O(|S|log|S|)
4、马拉车
问题:给一个字符串S,求S的最长回文子串。
先求子串长度位奇数的,再求偶数的。枚举回文子串的中心位置,然后二分子串的长度,直到找到一个该位置的最长回文子串,不断维护长度最大值即可。
复杂度:O(|S|log|S|)O(|S|log|S|)
用manacher可以做到O(|S|)O(|S|)的复杂度
5、扩展kmp
问题:给一个字符串S,求S的每个后缀与S的最长公共前缀
枚举每一个后缀的起始位置,二分长度,求出每个后缀与S的最长公共前缀。
复杂度:O(|S|log|S|)O(|S|log|S|)
用extend-kmp可以做到O(|S|)O(|S|)的复杂度
后记
hash真是一种优雅的暴力。
因为字符串特殊的性质,我们可以二分得处理它,一般都有单调性。
欢迎大家吐槽或评论,如要转载请注明地址,谢谢~(虽然不一定有人能看到。。。)
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