option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1253">题目链接

题意:给出一个序列,长度为n,表示有n个x(节点),能够加入随意括号。问说形成的串为非二叉表达式的有多少个。

思路:用总数减去二叉表达式的数量。二叉表达式能够用Catalan数求解,至于总数的话,用dp求解。dp[i][0]表示在第i个位置能够被拆分成两个子树,dp[i][1]表示有一个子树。

代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const int MAXN = 30; ll Catalan[MAXN], dp[MAXN][2];
int n; void init() {
memset(Catalan, 0, sizeof(Catalan));
Catalan[1] = Catalan[2] = 1;
for (int i = 3; i < MAXN; i++)
Catalan[i] = Catalan[i - 1] * (4 * i - 6) / i;
} ll dfs(int n, int m) {
ll& ans = dp[n][m];
if (ans != 0)
return ans;
if (n <= 1)
return 1;
ans = 0;
for (int i = 1; i < n + m; i++)
ans += dfs(i, 1) * dfs(n - i, 0);
return ans;
} int main() {
init();
while (scanf("%d", &n) != EOF) {
memset(dp, 0, sizeof(dp));
printf("%lld\n", dfs(n, 0) - Catalan[n]);
}
return 0;
}

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