P2507 [SCOI2008]配对

题目背景

四川NOI2008省选

题目描述

你有 n 个整数Ai和n 个整数Bi。你需要把它们配对，即每个Ai恰好对应一个Bp[i]。要求所有配对的整数差的绝对值之和尽量小，但不允许两个相同的数配对。例如A={5,6,8}，B={5,7,8}，则最优配对方案是5ó8, 6ó5, 8ó7，配对整数的差的绝对值分别为2, 2, 1，和为5。注意，5ó5，6ó7，8ó8是不允许的，因为相同的数不许配对。

输入输出格式

输入格式：

第一行为一个正整数n，接下来是n 行，每行两个整数Ai和Bi，保证所有

Ai各不相同，Bi也各不相同。

输出格式：

输出一个整数，即配对整数的差的绝对值之和的最小值。如果无法配对，输

出-1。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

输入样例#2：

输出样例#2：

说明

30%的数据满足：n <= 10^4

100%的数据满足：1 <= n <= 10^5，Ai和Bi均为1到10^6之间的整数。

Solution：

　　这个贪心神了。。。`～`（前天写的题，本来是昨天应该写完的博客，结果因为这两天一直卡在几道题上，一直在刚题，忘记这回事了。五月断更了～）

　　我们首先考虑没有限制条件，即不需要满足配对时$a_i\neq b_i$这个条件，那么很容易想到贪心的思路，直接对$a,b$从小到大排一遍序，然后累加$a,b$同项之差的绝对值即可。

　　但是现在有了限制，各种方法骚，没有刚过，感觉完全不可做。

　　后面仔细看题，发现一个超级重要的条件，保证$a$中数各不相同，$b$中数各不相同。

　　那么就好搞了，我们先对$a,b$各自从小到大排一遍序，然后进行以下操作：

　　首先考虑输出$-1$的情况：很显然只有当序列长度为$1$且$a_1=b_1$时无解，因为当$n\geq 2$时，由于数各不相同，那么同一个数$a,b$中顶多各自出现一次，我们就可以用后面的数和前面的数配对（显然一定不会相等）。

　　其次，当有解时，我们贪心的想到，因为每个数顶多在$a,b$中各出现一次，所以当某次$a_i=b_i$时，则$a_i\neq b_{i-1}$且$a_i\neq b_{i+1}$（$b_i$同理），于是我们可以让其和$a_{i-1},b_{i-1}$或者$a_{i+1},b_{i+1}$搭配，或者三个互相搭配，在中间取最小值就好了。（即使这三对数，每对相同，但由于$a,b$中数各自不同，那么这三对数一定可以搭配出两两不同的情况）

　　那么由于前两次需要判断边界，且$i+1$可能越界。于是将过程改为$a_i,a_{i-1},a_{i-2}$三个比较取最小值（都一样的）。

　　排序后，求解的整个过程是线性的，于是用$DP$的思想来转移实现。

　　定义状态$f[i]$表示前$i$个配对能得到的最小值，因为每次转移是三个比较，则初值$f[1]=|a_1-b_1|$，$f[2]=min(f[1]+|a2-b2|,|a1-b2|+|a2-b1|)$（注意当配对的两个数相等时，将其算出的值赋为$inf$）。

　　那么不难得出状态转移方程：

　　$f[i]=f[i-1]+|a_i-b_i|$（直接配对$a_i$和$b_i$）

　　$f[i]=min(f[i],f[i-2]+|a_i-b_{i-1}|+|a_{i-1}-b_i|)$（$i$和$i-1$配对）

　　$f[i]=min(f[i],f[i-3]+|a_i-b_{i-2}|+|a_{i-1}-b_{i-1}|+|a_{i-2}-b_i|)$（三个配对时，让$i$和$i-2$配对）

　　$f[i]=min(f[i],f[i-3]+|a_i-b_{i-2}|+|a_{i-1}-b_i|+|a_{i+1}-b_{i-1}|)$（三个配对时，$a,b$两两匹配的一种情况）

　　$f[i]=min(f[i],f[i-3]+|a_i-b_{i-1}|+|a_{i-1}-b_{i-2}|+|a_{i+1}-b_i|)$（三个配对时，$a,b$两两匹配的另一种情况）

　　最后目标状态$f[n]$就是答案。

代码：

// luogu-judger-enable-o2

#include<bits/stdc++.h>

#define il inline

#define ll long long

#define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)

#define Min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))

#define la(a,b) ((a!=b)?((a-b)>0?(a-b):(b-a)):233333333)

using namespace std;

const int N=;

ll n,f[N],a[N],b[N];

il int gi(){

    int a=;char x=getchar();bool f=;

    while((x<''||x>'')&&x!='-')x=getchar();

    if(x=='-')x=getchar(),f=;

    while(x>=''&&x<='')a=(a<<)+(a<<)+x-,x=getchar();

    return f?-a:a;

}

int main(){

    n=gi();

    For(i,,n) a[i]=gi(),b[i]=gi();

    sort(a+,a+n+);sort(b+,b+n+);

    if(a[]==b[]&&n==){cout<<-;return ;}

    f[]=la(a[],b[]);

    f[]=Min(f[]+la(a[],b[]),la(a[],b[])+la(a[],b[]));

    For(i,,n){

        f[i]=f[i-]+la(a[i],b[i]);

        f[i]=Min(f[i],f[i-]+la(a[i],b[i-])+la(a[i-],b[i]));

        f[i]=Min(f[i],f[i-]+la(a[i],b[i-])+la(a[i-],b[i])+la(a[i-],b[i-]));

        f[i]=Min(f[i],f[i-]+la(a[i],b[i-])+la(a[i-],b[i-])+la(a[i-],b[i]));

        f[i]=Min(f[i],f[i-]+la(a[i],b[i-])+la(a[i-],b[i])+la(a[i-],b[i-]));

    }

    cout<<f[n];

    return ;

}