[CF 351B]Jeff and Furik[归并排序求逆序数]

题意:

两人游戏, J先走.

给出一个1~n的排列, J选择一对相邻数[题意!!~囧], 交换.

F接着走, 扔一硬币, 若正面朝上, 随机选择一对降序排列的相邻数, 交换. 若反面朝上, 随机选择一对升序排列的相邻数, 交换.

当数列成为严格升序的时候游戏结束.

求让游戏尽早结束的情况下, 移动次数的期望.

思路:

首先分析游戏结束的方法: 由于是排列, 严格升序就是1~n. J的话..直接按顺序将较小的数交换到目标位置即可. F的话...比较麻烦, 有两种可能, 每种可能都是随机的.....就会破坏J的结果....

这样的话就要进死胡同了....

需要深刻理解"期望"...就是概率相消会认为是事实... 分析第二个人, 他一半是随机选择升序变降序, 一半是随机选择降序变升序...YY一下, 可以认为F啥也没干...

那就直接求J走的步数, F只是起到填充的作用...注意F必须走偶数步使得他自己的作用可以中和掉.

下面就是模拟一下样例: 对于某个数, 它移动的次数就是在它前面比他大的数的个数[逆序数], 在他前面比他小的数不需要被它超越. 而他本身的移动将排列分成三个区间, 前面没涉及的部分, 逆序数显然没影响, 中间跨过的部分, 它的到来并不会使这些数的逆序数增加, 更不会减少, 他后面的部分, 显然也是没有影响... 因此, 只要计算整个排列的逆序数的个数即可.

线段树可以算逆序数...但是好麻烦吧...

归并排序求逆序数:

冒泡也可以求逆序数..就相当于是这个游戏的模拟解法..O(n^2), 反而是冒泡为什么可以求出逆序数可以由此题的分析过程得出...

归并的话, O(nlogn)...

基本操作是将左右两个有序数组合并. 左右两个数组内部的排序对逆序数的改变只影响其内部, 所以可以分层累加.

合并时, 从左边来的数的逆序数都不变, 每从右边来一个数, 它的逆序数就增加"左边剩余数"的个数. 所有的都累加一下就可以了.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 3005;
int p[MAXN],n,cnt,t[MAXN];
void mrg(int l, int r)
{
    int mid = (l + r) >> 1;
    int i = l, j = mid + 1, k = 0;
    while(i<=mid && j<=r)
        if(p[i]<p[j])   t[k++] = p[i++];
        else
        {
            t[k++] = p[j++];
            cnt += mid - i + 1;
        }
    if(i>mid)
        while(j<=r) t[k++] = p[j++];
    else
        while(i<=mid)   t[k++] = p[i++];
    for(i=0;i<k;i++)
        p[l+i] = t[i];
}
void srt(int l, int r)
{
    if(l<r)
    {
        int mid = (l + r) >> 1;
        srt(l, mid);
        srt(mid+1,r);
        mrg(l,r);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",p+i);
    srt(0, n-1);
    printf("%.6lf\n",(double)((cnt&1)?((cnt<<1)-1):cnt<<1));
}