zoj2432 hdoj1423 最长公共上升子序列（LCIS）

zoj2431  http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2432

hdoj 1423 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1423

题意：

一看题目题意就很明显了， 两个数组a，b，求出两个数组公共的最长的上升子序列（可以不是连续的子序列）。

分析：

如果做过[最长公共子序列](http://blog.csdn.net/wangdan11111/article/details/41321277)应该更容易明白点。

定义状态d[i][j]表示以a数组的前i个元素，b数组的前j个元素并且以b[j]为结尾的LCIS的长度。

首先：a[i] ！= b[j]时， d[i][j] = d[i-1][j];   因为 d[i][j] 是以 b[j] 为结尾的LCIS，如果 d[i][j] > 0 那么就说明 a[1] .... a[i] 中必然有一个元素 a[k] 等于 b[j]。因为 a[k] != a[i]，那么 a[i] 对 d[i][j] 没有贡献，于是我们不考虑它照样能得出 d[i][j] 的最优值。所以在 a[i] != b[j] 的情况下必然有 d[i][j] = d[i-1][j]。这一点参考LCS的处理方法。

当a[i]==b[j]时， 首先，这个等于起码保证了长度为1的LCIS。然后我们还需要去找一个最长的且能让b[j]接在其末尾的LCIS。之前最长的LCIS在哪呢？首先我们要去找的d数组的第一维必然是i-1。因为i已经拿去和b[j]配对去了，不能用了。第二维需要枚举 b[1] ... b[j-1]了，因为你不知道这里面哪个最长且哪个小于 b[j]。

状态转移方程：

a[i] != b[j]: d[i][j]=d[i-1][j] ；

a[i] == b[j]: d[i][j]=max(d[i-1][k]) + 1 ； （1<= k <= j-1）

不难看到，这是一个时间复杂度为O(n^3)的DP，离平方还有一段距离。

但是，这个算法最关键的是，如果按照一个合理的递推顺序，max(d[i-1][k])的值我们可以在之前访问 d[i][k] 的时候通过维护更新一个max变量得到。怎么得到呢？首先递推的顺序必须是状态的第一维在外层循环，第二维在内层循环。也就是算好了 d[1][n2] 再去算 d[2][1]。 如果按照这个递推顺序我们可以在每次外层循环的开始加上令一个max变量为0，然后开始内层循环。当a[i]>b[j]的时候令max = d[i-1][j]。如果循环到了a[i] == b[j]的时候，则令 d[i][j] = max+1。 最后答案是 d[n1][1] ... d[n1][n2]的最大值。

举个例子

a={1， 4， 2， 5， -12}   b ={5, -12, 1, 2, 4, 5}

	5	-12	1	2	4	5
1	0	0		0	0	0
4	0	0	1	0	2	0
2	0	0	1	2		0
5	1	0	1	2	2
-12	1		1	2	2	3

if(a[i] == b[j])

d[i][j] = mx + 1;

else  if(a[i] > b[j] && mx < d[i-1][j])

                  mx = d[i-1][j];

       //只有当a[i] > b[j]时，才更新mx， 保证了所求序列是上升的。

仔细看表格会发现： 若d[i][j] > 0 的话，那么在数组a前i个元素中一定存在a[k]( 1 <= k <= i)等于b[j]. 否则说明前i个a元素中没有与b[j]相同的元素。

zoj2432

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string.h>
#include<cstring>
#include<math.h>
using namespace std;

const int N = ;
int n1, n2, t, mx, sum;
int a[N], b[N], d[N][N], pi[N][N], pj[N][N];
void  dp()
{
    for(int i = ; i <= n1; i++)
    {
        int mx = , x = , y = ;
        for(int j = ; j <= n2; j++)
        {
            d[i][j] = d[i-][j];
            pi[i][j] = i-;
            pj[i][j] = j;
            if(a[i] > b[j] && mx < d[i-][j])
            {
                mx = d[i-][j];
                x = i-; y = j;
            }
            else if(a[i] == b[j])
            {
                d[i][j] = mx + ;
                pi[i][j] = x;
                pj[i][j] = y;
            }
        }
    }
}
void ac(int x, int y)
{
    if(d[x][y] == )
        return;
    int fx = pi[x][y];
    int fy = pj[x][y];
    ac(fx, fy);
    if(d[x][y] != d[fx][fy] && y != )
    {
        printf("%d", b[y]);
        sum++;
        if(sum < mx) printf(" ");
        else
            printf("\n");
    }
}
int main()
{
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        scanf("%d", &n1);
        for(int i = ; i <= n1; i++) scanf("%d", &a[i]);
        scanf("%d", &n2);
        for(int i = ; i <= n2; i++) scanf("%d", &b[i]);
        memset(d, , sizeof(d));
        memset(pi, -, sizeof(pi));
        memset(pj, -, sizeof(pj));
        dp();
        mx = ;
        int flag = ;
        for(int i = ; i <= n2; i++)
        {
            if(d[n1][i] > mx)
            {
                mx = d[n1][i];
                flag = i;
            }
        }
        printf("%d\n", mx);
        for(int i = ; i <= n1; i++)
        {
            for(int j = ; j  <= n2; j++)
                printf("%d ", d[i][j]);
            printf("\n");
        }
        sum = ;
        if(mx > )
            ac(n1, flag);
        if(t)
            printf("\n");
    }
    return ;
}

hdoj1423

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string.h>
#include<cstring>
#include<math.h>
using namespace std;

int n1, n2, t, k;
int a[], b[], d[][];
int dp()
{
    int mx;
    for(int i = ; i <= n1; i++)
    {
        mx = ;
        for(int j = ; j <= n2; j++)
        {
            d[i][j] = d[i-][j];
            if(a[i] > b[j] && mx < d[i-][j]) mx = d[i-][j];
            else if(a[i] == b[j])
                d[i][j] = mx + ;
        }
    }
    mx = ;
    for(int i = ; i <= n2; i++)
    {
        if(d[n1][i] > mx)
             mx = d[n1][i];
    }
    return mx;
}
int main()
{
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        scanf("%d", &n1);
        for(int i = ; i <= n1; i++) scanf("%d", &a[i]);
        scanf("%d", &n2);
        for(int i = ; i <= n2; i++) scanf("%d", &b[i]);
        memset(d, , sizeof(d));
        int ans = dp();
        printf("%d\n", ans);
        if(t) printf("\n");
    }
    return ;
}