[TCO 2012 Round 3A Level3] CowsMooing (数论,中国剩余定理,同余方程)
题目:http://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=12083
这道题还是挺耐想的(至少对我来说是这样)。开始时我只会60%的算法,在借鉴了巨神zhx的代码并查阅了官方题解后才终于懂了点了。
两两互质的情形
首先,考虑简化的情形:若模板i的长度为li,我们加上限制,即所有模板的长度两两互质。
假设当前位置x对应第i个模板的位置为ai,当且仅当,而li是两两互质的,由中国剩余定理,x在
范围内有唯一解。这样,这个问题就被秒掉了。
一般情形
下面考虑一般情形。
假设有两个模板i和j,,我们可以考虑将正整数集合中的元素按照模k的余数分成k个子集,设b属于集合Mt当且仅当b mod k = t。那么,如果x属于集合Mt,则有ai mod k = aj mod k = x mod k = t,因为ai = x mod li,而k | li。这样,我们实际上只需要考虑模k相同的(ai, aj),这相当于将模板i拆成了li / k个子模板,模板j拆成了lj / k个子模板,而gcd(li / k, lj / k) = 1,所以我们可以用前面的互质情形解决。
最终的解法
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