浅谈二维RMQ

针对一些二维区间最值问题，用一维ＲＭＱ来解决显然是不够的。所以，要改进算法。鉴于网上没有ＰＡＳＣＡＬ版的ＲＭＱ标程与解析，所以小可在这里简单的讲一下。

　　　核心思想和一维的一样，只是在计算区间时略有不同。用数组Ｆ［ｉ，ｊ，ｋ］表示以ｉ，ｊ为左上角的矩形，长度为（１　ｓｈｌ　ｋ），然后在循环时取四个矩形的最值，具体伪代码如下：

　　for k:=1 to x do　　　　　　　　　　　　　　／／　ｘ为要处理矩形的最大边长的ｔｒｕｎｃ（ｌｏｇ_２ｍａｘ）值
 　　　for i:=1 to n+1-(1 shl k) do
  　　　　for j:=1 to m+1-(1 shl k) do　　　　　　／／循环上和一维的一样，只是多加了一层而已　
   　　　　f[i,j,k]:=max(f[i,j,k-1],f[i+1 shl (k-1),j,k-1],f[i,j+1 shl (k-1),k-1],f[i+1 shl (k-1),j+1 shl (k-1),k-1]);

　　　　　　　　　　　／／　　　分成四块正方形计算

　　查询时和一维的一样，这里不再详讲。

　　总的时间复杂度为Ｏ（ｌｏｇＮ＊Ｎ^２＋Ｍ）　　在这里将待处理矩形看做正方形，Ｍ为询问次数

　　提别提醒：因为循环次数较多，反复调用ｓｈｌ函数会导致常数变大，所以有时可以开一个数组预存要用到的值，以减少时间上的浪费。

　　＂理想的正方形＂就可以用以上方法完美的解决掉，时间略慢，附上代码

ＡＣ代码：

｛

program zht;

var n,m,s,x,i,j,k,q,w,ans:longint;

f1,f2:array[0..1000,0..1000,0..7] of longint;

z:longint;

function mm(a,b:longint):longint;

begin if a>b then mm:=a else mm:=b;

end;

function max(a,b,c,d:longint):longint;

begin

max:=mm(mm(a,b),mm(c,d));

end;

function mmm(a,b:longint):longint;

begin

if a<b then mmm:=a else mmm:=b; end;

function min(a,b,c,d:longint):longint;

begin

min:=mmm(mmm(a,b),mmm(c,d));

end;

begin

assign(input,'square.in');

assign(output,'square.out');

reset(input);

rewrite(output);

readln(n,m,s);

for i:=1 to n do

　for j:=1 to m do

　　begin

　　read(z);

　　f1[i,j,0]:=z;

　　f2[i,j,0]:=z;

　　end;

x:=trunc(ln(s)/ln(2));

for k:=1 to x do

　for i:=1 to n+1-(1 shl k) do

　　for j:=1 to m+1-(1 shl k) do

　　begin

　　f1[i,j,k]:=max(f1[i,j,k-1],f1[i+1 shl (k-1),j,k-1],f1[i,j+1 shl (k-1),k-1],f1[i+1 shl (k-1),j+1 shl (k-1),k-1]); 　　　　　　　　　　f2[i,j,k]:=min(f2[i,j,k-1],f2[i+1 shl (k-1),j,k-1],f2[i,j+1 shl (k-1),k-1],f2[i+1 shl (k-1),j+1 shl (k-1),k-1]);

　　end;　　　　　　　　　／／　两个存最值的数组预处理

ans:=maxlongint;

for i:=1 to n-s+1 do

　for j:=1 to m-s+1 do

　begin

　q:=max(f1[i,j,x],f1[i+s-(1 shl x),j,x],f1[i,j+s-(1 shl x),x],f1[i+s-(1 shl x),j+s-(1 shl x),x]);

　w:=min(f2[i,j,x],f2[i+s-(1 shl x),j,x],f2[i,j+s-(1 shl x),x],f2[i+s-(1 shl x),j+s-(1 shl x),x]);

　ans:=mmm(q-w,ans);　　　　　／／　穷举顶点，计算最小差值

　end;

writeln(ans);

close(input);

close(output);

end.

｝

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