【BZOJ 1319】 Sgu261Discrete Rootsv (原根+BSGS+EXGCD)

1319: Sgu261Discrete Roots

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Description

给出三个整数p,k,a,其中p为质数，求出所有满足x^k=a (mod p),0<=x<=p-1的x。

Input

三个整数p,k,a。

Output

第一行一个整数，表示符合条件的x的个数。 第二行开始每行一个数，表示符合条件的x,按从小到大的顺序输出。

Sample Input

11 3 8

Sample Output

1
2

HINT

2<=p<p<=10^9
 2<=k<=100000,0<=a

【分析】

　　

　　终于发现原根的用处了！原根的幂构成模p的缩系，即用原根的幂可以表示所有模p下的数。假设模p下的一个原根是g，对于方程x^k=a(%prim) 可以写成(g^i)^k三g^j(%p),那么有g^j=三a（mod p），j可以用BSGS求得，那么i*k三j(%phi[p])，这个可以用exgcd求出所有可行的i，答案为g^i。

代码如下：

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #define LL long long
 #define Maxn 1000010

 LL ax,ay;
 LL exgcd(LL a,LL b)
 {
     if(b==) {ax=;ay=;return a;}
     LL g=exgcd(b,a%b);
     LL xx=ax;
     ax=ay;ay=xx-(a/b)*ay;
     return g;
 }

 LL np[Maxn];
 void div(LL x)
 {
     np[]=;
     for(LL i=;i*i<=x;i++) if(x%i==)
     {
         np[++np[]]=i;
         while(x%i==) x/=i;
     }
     if(x>) np[++np[]]=x;
 }

 LL qpow(LL x,LL b,LL p)
 {
     LL xx=x,pp=p,ans=;
     while(b)
     {
         if(b&) ans=(ans*xx)%p;
         xx=(xx*xx)%p;
         b>>=;
     }
     return (LL)ans;
 }

 LL ffind(LL p)
 {
     div(p-);
     for(LL i=;i<p;i++)
     {
         bool ok=;
         for(LL j=;j<=np[];j++)
         {
             if(qpow(i,(p-)/np[j],p)==) {ok=;break;}
         }
         if(ok) return i;
     }
     return -;
 }

 LL cnt;
 struct node
 {
     LL id,val;
 }t[Maxn];

 bool cmp(node x,node y) {return (x.val==y.val)?(x.id<y.id):(x.val<y.val);}

 LL t_div(LL x)
 {
     LL l=,r=cnt;
     while(l<r)
     {
         LL mid=(l+r)>>;
         if(t[mid].val==x) return t[mid].id;
         if(t[mid].val>x) r=mid-;
         else l=mid+;
     }
     if(t[l].val==x) return t[l].id;
     return -;
 }

 LL BSGS(LL x,LL c,LL p)
 {
     t[].id=;t[].val=;
     LL sq=(LL)ceil(sqrt((double)p));
     for(LL i=;i<=sq;i++) t[i].id=i,t[i].val=(t[i-].val*x)%p;
     sort(t,t++sq,cmp);
     cnt=;
     for(LL i=;i<=sq;i++) if(t[i].val!=t[i-].val) t[++cnt]=t[i];

     LL bm=qpow(x,sq,p);
     bm=qpow(bm,p-,p);
     LL tmp=c;
     for(LL i=;i<=sq;i++)
     {
         LL now=t_div(tmp);
         if(now!=-) return i*sq+now;
         tmp=(tmp*bm)%p;
     }
     return -;
 }

 LL op[Maxn];

 int main()
 {
     LL p,k,a;
     scanf("%lld%lld%lld",&p,&k,&a);
     LL g=ffind(p);
     LL C=BSGS(g,a,p);
     if(C==-) {printf("0\n");return ;}
     C%=p-;
     LL d=exgcd(k,p-);
     if(C%d!=) {printf("0\n");return ;}
     ax*=C/d;
     ax=(ax%((p-)/d)+((p-)/d))%((p-)/d);

     LL ans=qpow(g,ax,p),id=ax,mx=ans,add=qpow(g,(p-)/d,p);
     op[]=;
     op[++op[]]=ans;
     LL fs=ans;
     while(add!=)
     {
         id=ax+((p-)/d);
         ans=(ans*add)%p;
         if(ans==fs) break;
         op[++op[]]=ans;
     }
     sort(op+,op++op[]);
     printf("%lld\n",op[]);
     for(LL i=;i<=op[];i++) printf("%lld\n",op[i]);
     return ;
 }

[BZOJ 1319]

2016-09-07 13:52:58