Luogu2345 | 奶牛集会 (树状数组)

题目背景

MooFest, 2004 Open

题目描述

约翰的 $N$ 头奶牛每年都会参加“哞哞大会”。哞哞大会是奶牛界的盛事。集会上的活动很多，比如堆干草，跨栅栏，摸牛仔的屁股等等。它们参加活动时会聚在一起，第i 头奶牛的坐标为 $Xi$，没有两头奶牛的坐标是相同的。奶牛们的叫声很大，第i 头和第j 头奶牛交流，会发出 $max[Vi,Vj]×|Xi−Xj|$ 的音量，其中 $Vi$ 和 $Vj$ 分别是第 $i$ 头和第 $j$ 头奶牛的听力。

假设每对奶牛之间同时都在说话，请计算所有奶牛产生的音量之和是多少。

输入格式

• 第一行：单个整数 $N$ $(1 ≤ N ≤ 20000)$

• 第二行到第N + 1 行：第i + 1 行有两个整数 $Vi$ 和 $Xi$ ($1 ≤ Vi ≤ 20000,1 ≤ Xi ≤ 20000$)

输出格式

• 单个整数：表示所有奶牛产生的音量之和

输入输出样例

输入 #1

4

3 1

2 5

2 6

4 3

输出 #1

57

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音量的计算公式 $max[Vi,Vj]×|Xi−Xj|$ 看起来很友好，

由于奶牛两两之间都会发出声音，很容易想到先将奶牛按 $Vi$ 升序排序，之后每遍历到一只奶牛，就计算这只奶牛与此前出现的所有奶牛发出的音量，统计进答案中即可。

这样我们需要求的就是当前奶牛与此前出现的所有奶牛的距离之和，即 $\sum_{j=1}^{i-1}dis(i,j)$

上面的这个式子是 $O(N^2)$ 的，而我们需要在 $O(logn)$ 的时间内解决，所以可以使用支持单点修改和区间查询的树状数组优化，

这里使用了两个树状数组，分别存储了奶牛的个数和奶牛的坐标和（即到原点的距离和）

接下里我们把坐标小于当前奶牛和坐标大于当前奶牛的分开处理，具体计算公式请见代码。

最后别忘了把这个值乘上当前奶牛的 $Vi$再统计进答案，之后还要把当前奶牛的数值加入两个树状数组中。

PS：还要开$long long$。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

#define FOR(i,s,t) for (ll (i)=(s);(i)<=(t);(i)++)

#define lowbit(x) ((x)&(-x))

#define ll long long

#define MAXN 20007

#define MAXX 20007

using namespace std;

struct cow { ll v,x; }p[MAXN];

ll c1[MAXN],c2[MAXN],n,ans=0;

inline bool cmp(const cow &A,const cow &B) { return A.v<B.v; }

inline void add(ll x) { for (ll i=x;i<MAXX;i+=lowbit(i)) c1[i]++,c2[i]+=x; }

inline ll q1(ll x) {

	ll ret=0;

	for (ll i=x;i>=1;i-=lowbit(i)) ret+=c1[i];

	return ret;

}

inline ll q2(ll x) {

	ll ret=0;

	for (ll i=x;i>=1;i-=lowbit(i)) ret+=c2[i];

	return ret;

}

inline ll read() {

	ll X=0,w=0; char ch=0;

	while (!isdigit(ch)) w|=ch=='-',ch=getchar();

	while (isdigit(ch)) X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();

	return w?-X:X;

}

int main() {

	memset(c1,0,sizeof(c1));

	memset(c2,0,sizeof(c2));

	n=read(); FOR(i,1,n) p[i].v=read(),p[i].x=read();

	sort(p+1,p+n+1,cmp);

	FOR(i,1,n) {

		ll amt1=q1(p[i].x-1),dis1=amt1*p[i].x-q2(p[i].x-1);

		ll amt2=q1(MAXX-1)-q1(p[i].x),dis2=q2(MAXX-1)-q2(p[i].x-1)-amt2*p[i].x;

		ans+=(dis1+dis2)*p[i].v,add(p[i].x);

	}

	printf("%lld",ans);

	return 0;

}