Mobius反演定理-BZOJ2154

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莫比乌斯定理（未完待续......）：

形式1：

形式2：

引理:

证明1：

      右边=带入左边等式，得              

　　　           

　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　    又当且仅当 : ，即时，上式非

 　　　　　  

   所以，成立。

 bzoj2154

时间复杂度

 换元：令

/*

*/

此题的精髓就一个字，模

 #include <algorithm>
 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <cstdio>
 #include <vector>
 #include <cmath>
 #include <queue>
 #include <map>
 #include <set>
 using namespace std;
 #define file(x) freopen(x".in","r",stdin),freopen(x".out","w",stdout)

 const int mod=,maxn=1e7+;
 int f[maxn],p[maxn],flag[maxn],cnt,S[maxn];
 void init(int n,int m){
   f[]=;
   for(int i=;i<=n;i++) {
     if(!flag[i])p[++cnt]=i,f[i]=(-i)%mod;
     for(int j=;j<=cnt && i*p[j]<=n;j++) {
       flag[i*p[j]]=;
       if(i%p[j]==){f[i*p[j]]=f[i]%mod;break;}
       f[i*p[j]]=((long long)(f[i]%mod)*(f[p[j]]%mod))%mod;
     }
   }
   for(int i=;i<=m;i++)S[i]=((S[i]%mod)+((S[i-]+i)%mod))%mod;
 }

 int main(){
   int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);if(n>m)swap(n,m);
   init(n,m);
   int ans=;
   for(int Q=;Q<=n;Q++)
     ans=(ans+(((Q%mod)*(long long)f[Q]*(((long long)S[n/Q]*S[m/Q])%mod))%mod)%mod)%mod;
   printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
   return ;
 }

f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)=∑d|nμ(d)∑k|ndf(k)=∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)