鬼斧神工：求n维球的体积

原文地址：http://spaces.ac.cn/archives/3154/
原文作者：苏剑林

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标准思路
简单来说，\(n\)维球体积就是如下\(n\)重积分
\[V_n(r)=\int_{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\leq r^2}\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2\dots \mathrm{d}x_n\]
用更加几何的思路，我们通过一组平行面（\(n−1\)维的平行面）分割，使得n维球分解为一系列近似小柱体，因此，可以得到递推公式
\[V_n (r)=\int_{-r}^r V_{n-1} \left(\sqrt{r^2-t^2}\right)\mathrm{d}t\]
设\(t=r\sin\theta_1\)，就有
\[V_n (r)=r\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} V_{n-1} \left(r\cos\theta_1\right)\cos\theta_1 \mathrm{d}\theta_1\]
迭代一次就有
\[V_n (r)=r^2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} V_{n-2} \left(r\cos\theta_1\cos\theta_2\right)\cos\theta_1\cos^2\theta_2 \mathrm{d}\theta_1 \mathrm{d}\theta_2\]
迭代\(n−1\)次
\[\begin{align*}V_n (r)=&r^{n-1}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\dots\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} V_1\left(r\cos\theta_1\cos\theta_2\dots \cos\theta_{n-1}\right)\times\\
&\cos\theta_1\cos^2\theta_2\dots\cos^{n-1}\theta_{n-1} \mathrm{d}\theta_1 \mathrm{d}\theta_2\dots \mathrm{d}\theta_{n-1}\end{align*}\]
其中\(V_1(r)=2r\)，即两倍半径长的线段。从而
\[V_n (r)=2r^{n}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\dots\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta_1\cos^3\theta_2\dots\cos^{n}\theta_{n-1} \mathrm{d}\theta_1 \mathrm{d}\theta_2\dots \mathrm{d}\theta_{n-1}\]
完成这个积分，最终就得到n维球体积的公式，这个积分自然是可以求出来的（只是\(n−1\)个一维积分的乘积）。但是这样的步骤太不容易了，为了将其跟伽马函数联系起来，还要做很多工作。总的来说，这是一个不容易记忆、也不怎么漂亮的标准方法。

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绝妙思路
有一个利用高斯积分的绝妙技巧，能够帮助我们直接将球体积跟伽马函数联系起来，整个过程堪称鬼斧神工，而且给人“仅此一家，别无分号”的感觉。据说这个技巧为物理系学生所知晓，我是从百读文库看到的，原始来源则是《热力学与统计力学》顾莱纳(德)，例5.2 理想气体的熵的统计计算。

这一绝妙的思路，始于我们用两种不同的思路计算高斯积分
\[\begin{align*}
G(n)=\int_{-\infty}^{+\infty}\dots\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left(-x_1^2-x_2^2-\dots-x_n^2\right)\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \dots \mathrm{d}x_n\tag{1}
\end{align*}\]
一方面，将\((1)\)当作\(n\)次累次积分，因为我们已经算得
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-t^2)\mathrm{d}t=\sqrt{\pi}\]
而\((1)\)只不过是这样的\(n\)个积分的乘积，因此
\[\begin{align*}
G(n)=\pi^{n/2}\tag{2}
\end{align*}\]
另一方面，将\((1)\)当作\(n\)重积分，由于积分变量只是跟径向长度\(r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}\)有关的变量，因此很容易联想到球坐标，在\(n\)维空间中，可以称为“超球坐标”，不需要将超球坐标完整写出来，只需要注意到，球内的积分，可以化为先对“球壳”进行积分，然后再对球半径进行积分。
\[\begin{align*}
G(n)=\int_{0}^{+\infty}\mathrm{d}r\int_{S_n(r)}\exp\left(-r^2\right)\mathrm{d}S_n\tag{3}
\end{align*}\]
这里的\(S_n(r)\)是半径为\(r\)的\(n\)维球体表面（以及表面积，在不至于混淆的情况下，这里不作区分）。但是注意到，被积函数只跟\(r\)有关，因此对球表面进行积分，等价于原函数乘以球的表面积而已，因此\((2)\)式的结果为
\[\begin{align*}
G(n)=\int_{0}^{+\infty}\mathrm{d}r\exp\left(-r^2\right)S_n(r)\tag{4}
\end{align*}\]
虽然我们不知道\(n\)维球的体积和表面积公式，但是我们可以肯定，\(n\)维球的体积一定正比于\(r^n\)，即有
\[V_n (r)=V_n(1)r^n\]
球的表面积，就是球体积的一阶导数（考虑球壳分割），那么
\[S_n (r)=n V_n(1)r^{n-1}\]
代入\((4)\)，得到
\[\begin{align*}G(n)=&n V_n(1)\int_{0}^{+\infty}r^{n-1}\exp\left(-r^2\right)\mathrm{d}r\\
=&\frac{1}{2}n V_n(1)\int_{0}^{+\infty}(r^2)^{n/2-1}\exp\left(-r^2\right)\mathrm{d}(r^2)\\
=&\frac{1}{2}n V_n(1)\int_{0}^{+\infty}z^{n/2-1}\exp\left(-z\right)\mathrm{d}z\quad\left(z=r^2\right)\\
=&\frac{1}{2}n V_n(1)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)\tag{5}\end{align*}\]
结合\((2)\)得
\[\pi^{n/2}=G(n)=\frac{1}{2}n V_n(1)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)\]
从而
\[V_n(1)=\frac{\pi^{n/2}}{\frac{1}{2}n\Gamma\left(\dfrac{n}{2}\right)}=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2}+1\right)}\]
最后
\[\Large\boxed{\displaystyle V_n(r)=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2}+1\right)}r^n}\]
就这样得到了\(n\)维球体积公式！！对\(r\)求导得到\(n\)维球表面积公式
\[\Large\boxed{\displaystyle S_n(r)=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2}\right)}r^{n-1}}\]
结合前后两个方法，就得到
\[\large\boxed{\displaystyle \color{red}{\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2}+1\right)}=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\dots\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta_1\cos^3\theta_2\dots\cos^{n}\theta_{n-1} \mathrm{d}\theta_1 \mathrm{d}\theta_2\dots \mathrm{d}\theta_{n-1}}}\]