BZOJ4883 棋盘上的守卫 基环树、Kruskal

题目传送门：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4883

题意：给出一个$N \times M$的棋盘，每个格子有权值。你需要每一行选中一个格子，每一列也选中一个格子（一个格子不能同时被行选中和被列选中），求这些格子权值和的最小值，$2 \leq N,M \leq 10^5 , N \times M \leq 10^5$

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考虑将行与列拆成点，格子的权值变为连接其对应行与列对应节点的边，我们的问题也就是需要找到一个边集，使得每一条边都在只匹配其端点中的一个的情况下匹配到每一个点，并且边权之和最小。考虑如何找“每一条边都在只匹配其端点中的一个的情况下匹配到每一个点”的边集。我们发现一棵有$N$个节点的树可以匹配$N - 1$个点，那么我们再在树上加一条边，构成基环树，就能够满足条件了。如果我们将边变为有向边，方向向其匹配的那个点，那么满足条件的基环树就是基环外向树。所以我们的目标就是找到这个图中的最小生成基环森林，使用类似$Kruskal$的方法可以实现。

具体的实现方式在并查集上有不同。我们维护某个集合中是否有环。如果某条边对应的两个端点在同一并查集中，如果没有环则设为有环并加上边权，否则无法合并；合并时两个有环的并查集无法合并，否则合并这两个集合，并且继承有无环的状态。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define ll long long
 #define MAXN 100010
 using namespace std;

 inline ll read(){
     ll a = ;
     char c = getchar();
     while(!isdigit(c))
         c = getchar();
     while(isdigit(c)){
         a = (a << ) + (a << ) + (c ^ ');
         c = getchar();
     }
     return a;
 }

 struct Edge{
     ll start , end , w;
 }Ed[MAXN];
 ll fa[MAXN] , N , M;
 bool vis[MAXN];

 bool cmp(Edge a , Edge b){
     return a.w < b.w;
 }

 ll find(ll x){
     return fa[x] == x ? x : (fa[x] = find(fa[x]));
 }

 int main(){
     ll ans = ;
     N = read();
     M = read();
      ; i <= N ; i++)
          ; j <= M ; j++){
             Ed[(i - ) * M + j].start = i;
             Ed[(i - ) * M + j].end = j + N;
             Ed[(i - ) * M + j].w = read();
         }
     sort(Ed +  , Ed + N * M +  , cmp);
      ; i <= N + M ; i++){
         fa[i] = i;
         vis[i] = ;
     }
      ; i <= N * M ; i++){
         ll p = find(Ed[i].start) , q = find(Ed[i].end);
         if(p != q && !(vis[p] && vis[q])){
             fa[q] = p;
             ans += Ed[i].w;
             vis[p] |= vis[q];
         }
         else
             if(!vis[p]){
                 vis[p] = ;
                 ans += Ed[i].w;
             }
     }
     cout << ans;
     ;
 }