Luogu P3825 [NOI2017]游戏

这道题看上去NPC啊，超级不可做的样子。

我们先分析一下简单的情形：没有\(x\)地图

此时每个地图由于限制掉一种汽车，那么显然只会有两种选择。

再考虑到限制的情况，那么大致做法就很显然了——2-SAT

首先是拆点，对于每张地图\(i\)拆成\(2i-1\)与\(2i\)表示这张地图选择能用的车的第一辆还是第二辆。

比如如果\(s_i=b\)，那么\(2i-1\)表示选择\(A\)车，\(2i\)表示选择\(B\)车。

现在开始考虑选择的限制，对于每一个限制\((u,x,v,y)\)，我们分情况讨论：

• 当\(s_u=x\)，说明这个限制没有意义，直接无视即可。
• 当\(s_u\not=x\)且\(s_v=y\)时，说明这时\(u\)是绝对不能选\(x\)对应的点的。为了在建图中体现出来我们直接从\(x\)对应的点向另一个点连边即可。
• 当\(s_u\not=x\)且\(s_v\not= y\)时，显然讲\(x\)对应的点向\(y\)对应的点连边。但是不要忘了2-SAT建图的对称性，我们还要从\(y\)对应的点的反点向\(x\)对应的点的反点连边。这样的意义也十分明确了吧，因为每个地图都必须做出选择，选择\(y\)对应的点的反点就使得\(u\)没有其他选择了。

然后就是用Tarjan跑SCC的过程了，这里不再赘述。值得一提的是Tarjan的标号顺序是按照拓扑序的逆序（因为是DFS）跑出来的，所以可以直接用标号来输出方案。

那么接下来就是考虑万恶的\(x\)地图了

我们发现这样并没有什么好的建图方法，然后翻到下面一看数据范围\(d\le8\)

然后一种特别naive的想法就是\(3^d\)枚举每个\(x\)地图是什么类型。然后再乘上Tarjan的复杂度直接爆炸。

我们想一下我们枚举的本质：

• 如果对于一个\(x\)地图取\(a\)即意味这只能用车\(B,C\)
• 如果对于一个\(x\)地图取\(b\)即意味这只能用车\(A,C\)
• 如果对于一个\(x\)地图取\(c\)即意味这只能用车\(A,B\)

然后我们惊奇地发现第三种情况已经被前两种情况包含掉了，所以复杂度变为\(2^d(n+m)\)

如果对于爆搜会被无解的数据卡满的同志们可以直接随机跑，实测这样也可以过。

不过实践的时候细节巨多，还是挺烦人的。

CODE

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#define RI register int
#define Ms(f,x) memset(f,x,sizeof(f))
using namespace std;
const int N=50005;
struct ques
{
    int x,y; char p1,p2;
}q[N<<1]; int n,m,d,tot,c[N],ukn[10],pt; char ch;
inline int T(char ch)
{
    if (ch>='a'&&ch<='c') return ch-'a'+1;
    else return ch-'A'+1;
}
inline int Id(int x,int y)
{
    switch (x)
    {
        case 1:return y!=3?1:0;break;
        case 2:return y!=3?1:0;break;
        case 3:return y!=2?1:0;break;
    }
}
inline char C(int x,int y)
{
    switch (x)
    {
        case 1:return y!=2?'B':'C';break;
        case 2:return y!=2?'A':'C';break;
        case 3:return y!=2?'A':'B';break;
    }
}
class FileInputOutput
{
    private:
        #define tc() (A==B&&(B=(A=Fin)+fread(Fin,1,S,stdin),A==B)?EOF:*A++)
        #define S 1<<21
        char Fin[S],Fout[S],*A,*B; int Ftop;
    public:
        FileInputOutput() { Ftop=0; A=B=Fin; }
        inline void gc(char &ch)
        {
            while (!isalpha(ch=tc()));
        }
        inline void pc(char ch)
        {
            Ftop<S?Fout[Ftop++]=ch:(fwrite(Fout,1,S,stdout),Fout[(Ftop=0)++]=ch);
        }
        inline void read(int &x)
        {
            x=0; char ch; while (!isdigit(ch=tc()));
            while (x=(x<<3)+(x<<1)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));
        }
        inline void Fend(void)
        {
            fwrite(Fout,1,Ftop,stdout);
        }
        #undef S
        #undef tc
}F;
class Two_SAT_Solver
{
    private:
        #define add(x,y) e[++cnt]=(edge){y,head[x]},head[x]=cnt
        struct edge
        {
            int to,next;
        }e[N<<2]; int head[N<<1],cnt,dfn[N<<1],low[N<<1],scc,col[N<<1],stack[N<<1],top,tot; bool vis[N];
        inline int min(int a,int b)
        {
        	return a<b?a:b;
        }
        #define to e[i].to
        inline void Tarjan(int now)
        {
        	dfn[now]=low[now]=++tot; stack[++top]=now; vis[now]=1;
        	for (RI i=head[now];i;i=e[i].next)
        	if (!dfn[to]) Tarjan(to),low[now]=min(low[now],low[to]);
        	else if (vis[to]) low[now]=min(low[now],dfn[to]);
        	if (low[now]==dfn[now])
        	{
        		col[now]=++scc; vis[now]=0; while (stack[top]!=now)
        		col[stack[top]]=scc,vis[stack[top--]]=0; --top;
        	}
        }
        #undef to
    public:
        inline void build(void)
        {
            for (RI i=1;i<=m;++i)
            {
                int x=q[i].x,y=q[i].y,p1=T(q[i].p1),p2=T(q[i].p2);
                if (c[x]==p1) continue; int numx=x<<1,numy=y<<1;
                if (c[y]==p2) add(numx-Id(c[x],p1),numx-(Id(c[x],p1)^1)); else
                add(numx-Id(c[x],p1),numy-Id(c[y],p2)),add(numy-(Id(c[y],p2)^1),numx-(Id(c[x],p1)^1));
            }
        }
        inline void check(void)
        {
            RI i; int lim=n<<1; for (i=1;i<=lim;++i) if (!dfn[i]) Tarjan(i);
            for (i=1;i<=n;++i) if (col[(i<<1)-1]==col[i<<1]) return;
            for (i=1;i<=n;++i) if (col[(i<<1)-1]<col[i<<1]) F.pc(C(c[i],1)); else F.pc(C(c[i],2));
            F.Fend(); exit(0);
        }
        inline void clear(void)
        {
            cnt=tot=scc=0; Ms(head,0); Ms(dfn,0);
        }
}S;
int main()
{
    //freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
    RI i,j; for (F.read(n),F.read(d),i=1;i<=n;++i)
    {
        F.gc(ch); if (ch!='x') c[i]=T(ch); else ukn[++pt]=i;
    }
    for (F.read(m),i=1;i<=m;++i) F.read(q[i].x),F.gc(q[i].p1),F.read(q[i].y),F.gc(q[i].p2);
    for (tot=(1<<d)-1,i=0;i<=tot;++i)
    {
        for (j=1;j<=d;++j) c[ukn[j]]=((i>>j-1)&1)+1;
        S.build(); S.check(); S.clear();
    }
    return F.pc('-'),F.pc('1'),F.Fend(),0;
}