Codeforces960G Bandit Blues 【斯特林数】【FFT】

题目大意:

　　求满足比之前的任何数小的有A个，比之后的任何数小的有B个的长度为n的排列个数。

题目分析：

　　首先写出递推式，设s(n,k)表示长度为n的排列，比之前的数小的数有k个。

　　我们假设新加入的数为1，那么s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)*s(n,k)。

　　这个式子是第一类斯特林数的递推式。

　　用h(n,a,b)表示满足题目给出条件的排列个数。

　　得出h(n,a,b)=Σs(k,a-1)*s(n-k-1,b-1)*C(n-1,k)。直观的理解就是将原排列从最高点分成两部分，两部分分别组合然后乘起来。

　　这样我们发现h(n,a,b)=s(n-1,a+b-2)*C(a+b-2,a-1)。这实际上就是给出一个a+b-2的排列，然后选出其中需要的点放到右边，我们不用考虑多余的点，因为它们的排列已经被计算。

　　由于无符号第一类斯特林数对应着升幂的系数，构造x(x+1)(x+2)...(x+n-1)，它的x^k的系数等于s(n,k)的值，由于最高项系数为1，所以分治FFT。

代码:

　　

 #include<bits/stdc++.h>
 #pragma GCC optimize(2)
 using namespace std;

 const int mod = ;
 const int gg = ;

 int n,a,b;

 vector<int> res[];

 int up[];

 int ord[];

 int fast_pow(int now,int pw){
     if(pw == ) return ;
     if(pw == ) return now;
     int z = fast_pow(now,pw/);
     z = (1ll*z*z)%mod;
     if(pw & ){z= (1ll*z*now)%mod;}
     return z;
 }

 void fft(int now,int len,int f){
     for(int i=;i<len;i++) if(i<ord[i]) swap(res[now][i],res[now][ord[i]]);
     for(int i=;i<len;i<<=){
     int wn = fast_pow(gg,(mod-)/(i<<));
     if(f == -) wn = fast_pow(wn,mod-);
     for(int j=;j<len;j+=(i<<)){
         for(int k=,w=;k<i;k++,w = (1ll*w*wn)%mod){
         int x = res[now][j+k],y = (1ll*w*res[now][j+k+i])%mod;
         res[now][j+k] = (x+y)%mod;
         res[now][j+k+i] = (x-y+mod)%mod;
         }
     }
     }
     if(f == -){
     int iv = fast_pow(len,mod-);
     for(int i=;i<len;i++) res[now][i] = (1ll*res[now][i]*iv)%mod;
     }
 }

 void multi(int p1,int p2){
     int n1 = res[p1].size()-,n2 = res[p2].size()-;
     int len = ,om = ;
     while(len <= (n1+n2+))len<<=,om++;
     for(int i=n1+;i<len;i++) res[p1].push_back();
     for(int i=n2+;i<len;i++) res[p2].push_back();
     for(int i=;i<len;i++) ord[i] = (ord[i>>]>>)+((i&)<<om-);
     fft(p1,len,);fft(p2,len,);
     for(int i=;i<len;i++){
     res[p1][i] = (1ll*res[p1][i]*res[p2][i])%mod;
     if(res[p1][i] < ) res[p1][i]+=mod;
     }
     fft(p1,len,-);
     res[p2].clear();
 }

 void divide(int l,int r,int now){
     if(l == r) {up[now] = l;return;}
     int mid = (l+r)/;
     divide(l,mid,now<<);
     divide(mid+,r,now<<|);
     multi(up[now<<],up[now<<|]);
     up[now] = up[now<<];
 }

 void work(){
     if(a ==  || b == ){puts("");return;}
     if(n == ){if(a+b==)puts(""); else puts(""); return;}
     int c = ;
     if(a<b) swap(a,b);
     if(a- > a+b-) c = ;
     for(int i=;i<=a-;i++){
     c = (1ll*c*(a+b--i))%mod;
     c = (1ll*c*fast_pow(i,mod-))%mod;
     }
     for(int i=;i<n;i++) res[i].push_back(i-),res[i].push_back();
     divide(,n-,);
     c = (1ll*c*res[up[]][a+b-])%mod;
     printf("%d",c);
 }

 int main(){
     scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
     work();
     return ;
 }