Python3之弹性力学——应力张量1

题目

已知某点的应力张量为：

\[\left[
\begin{array}{ccc}
\sigma_{x} &\tau_{xy} &\tau_{xz}\\
\tau_{yx} &\sigma_{y} &\tau_{yz}\\
\tau_{zx} &\tau_{zy} &\sigma_{z}
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{ccc}
0 &1 &2\\
1 & \sigma_{y} & 1\\
2 &1 &0
\end{array}
\right]
\]

并已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零矢量，求 \(\sigma_y\) 和主应力？

分析

由题意，存在某个微分面（单位法向量为 \(\boldsymbol{n}\)），其上的应力矢量 \(\boldsymbol{T}=\boldsymbol{0}\)，即

\[\boldsymbol{T}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}=
\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2\\
1 & \sigma_{y} & 1\\
2 & 1 & 0
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
n_1\\
n_2\\
n_3
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}
\right]
\]

行列式必须为零

线性方程组存在非零解，必然行列式为零，即

\[\left|\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2\\
1 & \sigma_{y} & 1\\
2 & 1 & 0
\end{array}
\right|
= 0 + 2 + 2 -4\sigma_y - 0 - 0
= 0
\]

求得 \(\sigma_y = 1\)。

应力张量

于是，应力张量为

\[\left[
\begin{array}{ccc}
\sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\
\tau_{yx} & \sigma_{y} & \tau_{yz}\\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{z}
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2\\
1 & 1 & 1\\
2 & 1 & 0
\end{array}
\right]
\]

特征值问题

求主应力，即为求应力张量的特征值。

\[\left|\,\boldsymbol{\sigma}-\sigma\boldsymbol{I} \,\right| = 0
\]

或

\[\left|
\begin{array}{ccc}
-\sigma & 1 & 2\\
1 & 1-\sigma & 1\\
2 & 1 & -\sigma
\end{array}
\right|
=
(1-\sigma)\sigma^2 + 2 + 2 - 4(1-\sigma) + \sigma + \sigma = 0
\]

整理得

\[-\sigma^3 + \sigma^2 + 6\sigma = -\sigma(\sigma-3)(\sigma+2) = 0
\]

主应力

得到三个主应力分别为

\[\left\{
\begin{array}{rcr}
\sigma_1 & = & 3\\
\sigma_2 & = & 0\\
\sigma_3 & = & -2
\end{array}
\right.
\]

Python3代码求解

符号运算求特征值

• 调用 Python 下的 sympy 模块

from sympy import init_printing, Matrix

init_printing(use_unicode=True)

Matrix对象表示应力矩阵

# 生成矩阵对象
sigma = Matrix([[0, 1, 2], [1, 1, 1], [2, 1, 0]])
sigma

\[\left[\begin{matrix}0 & 1 & 2\\1 & 1 & 1\\2 & 1 & 0\end{matrix}\right]
\]

求特征值

• 前已求得三个主应力分别为

\[\left\{
\begin{array}{rcr}
\sigma_1 & = & 3\\
\sigma_2 & = & 0\\
\sigma_3 & = & -2
\end{array}
\right.
\]

• 调用 Matrix 对象的 eigenvals 方法

sigma.eigenvals() # 求特征值

\[\left \{ -2 : 1, \quad 0 : 1, \quad 3 : 1\right \}
\]

• 冒号后的数字表示一重特征值

求特征矢量

• 调用 Matrix 对象的 eigenvects 方法

sigma.eigenvects()

\[\left [ \left ( -2, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}-1\\0\\1\end{matrix}\right]\right ]\right ), \quad \left ( 0, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}1\\-2\\1\end{matrix}\right]\right ]\right ), \quad \left ( 3, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right]\right ]\right )\right ]
\]

参考