kruscal重构树略解

我们先看一道题：Luogu P4197 Peaks

这道题珂以用启发式合并+主席树来做

那么强制在线呢？(bzoj 3551 [ONTAK2010]Peaks加强版)

离线做法就不行了

我们就要用一个叫做kruscal重构树的东西来解决这个问题

克鲁斯卡尔重构树可以用来解决一类诸如“查询从某个点出发经过边权不超过val的边所能到达的节点”的问题

首先不难发现，上面这个问题肯定是在最小生成树上走最优，其他边都可以不用去管

kruscal构树的思想就是在建最小生成树的时候不是直接连边，而是新建一个节点，并把这个节点的值设为边权，然后令两个连通块的代表点分别作为它的左右儿子。然后令这个新节点成为整个连通块的代表点

那么这样做有什么用呢？

kruscal重构树有这样的性质：一个点的所有子树节点的权值都小于等于它的权值，并且从它开始逐渐向子节点移动，权值是单调不上升的。这个性质是显然的，因为我们在构造树的时候是从小到大插入的边，因此父亲节点的权值一定大于等于子节点的值

查询时，首先可以在树上倍增得到当前查询点所能够到达的最远的祖先点，那么从这个点能够到达的符合边权限制条件的连通块中的节点，就是祖先点的子树中所有的叶节点

然后我们按dfs序维护一个主席树上树就可以解决了

完整代码（离线）

#include <bits/stdc++.h>
#define getchar nc
#define N 200005
#define M N<<4
#define K 500005
using namespace std;
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read()
{
    register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline void write(register int x)
{
    if(!x)putchar('0');if(x<0)x=-x,putchar('-');
    static int sta[20];register int tot=0;
    while(x)sta[tot++]=x%10,x/=10;
    while(tot)putchar(sta[--tot]+48);
}
struct node{
    int u,v,c;
    node(){}
    node(int u,int v,int c):u(u),v(v),c(c){}
    inline bool operator <(const node &b)const
    {
        return c<b.c;
    }
}E[K];
struct edge{
    int to,next;
}e[N];
int head[N],tot;
inline void add(register int u,register int v)
{
    e[++tot]=(edge){v,head[u]};
    head[u]=tot;
}
int n,m,q,limit,dfn;
int bin[25];
int fa[N],val[N],f[N][20];
int b[N>>1],h[N>>1];
int ls[N],rs[N],rt[N],num;
int sum[M],L[M],R[M],cnt;
inline void mission(register int x)
{
    for(register int i=1;bin[i]<=n;++i)
        f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
}
inline void update(register int last,register int &now,register int l,register int r,register int x)
{
    sum[now=++cnt]=sum[last]+1;
    if(l==r)
        return;
    int mid=l+r>>1;
    if(x<=mid)
        R[now]=R[last],update(L[last],L[now],l,mid,x);
    else
        L[now]=L[last],update(R[last],R[now],mid+1,r,x);
}
inline int query(register int a,register int x,register int k)
{
    int l=1,r=limit;
    for(register int j=18;~j;--j)
        if(f[a][j]&&val[f[a][j]]<=x)
            a=f[a][j];
    int v=rt[rs[a]],u=rt[ls[a]-1];
    if(sum[v]-sum[u]<k)
        return -1;
    while(l<r)
    {
        int tmp=sum[R[v]]-sum[R[u]],mid=l+r>>1;
        if(tmp>=k)
            v=R[v],u=R[u],l=mid+1;
        else
            v=L[v],u=L[u],r=mid,k-=tmp;
    }
    return b[r];
}
inline void dfs(register int u)
{
    mission(u);
    ls[u]=++num;
    if(u<=n)
        update(rt[num-1],rt[num],1,limit,h[u]);
    else
        rt[num]=rt[num-1];
    for(register int i=head[u];i;i=e[i].next)
        dfs(e[i].to);
    rs[u]=num;
}
inline int find(register int x)
{
    return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
int main()
{
    n=read(),m=read(),q=read();
    bin[1]=1;
    for(register int i=2;i<=22;++i)
        bin[i]=bin[i-1]<<1;
    for(register int i=1;i<=n<<1;++i)
        fa[i]=i;
    for(register int i=1;i<=n;++i)
        b[i]=h[i]=read();
    sort(b+1,b+n+1);
    limit=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
    for(register int i=1;i<=n;++i)
        h[i]=lower_bound(b+1,b+limit+1,h[i])-b;
    for(register int i=1;i<=m;++i)
    {
        int u=read(),v=read(),c=read();
        E[i]=node(u,v,c);
    }
    sort(E+1,E+m+1);
    dfn=n;
    for(register int i=1;i<=m;++i)
    {
        int u=find(E[i].u),v=find(E[i].v);
        if(u!=v)
        {
            val[++dfn]=E[i].c;
            fa[u]=fa[v]=dfn;
            add(dfn,u),add(dfn,v);
            f[u][0]=f[v][0]=dfn;
            if(dfn-n==n-1)
                break;
        }
    }
    for(register int i=1;i<=dfn;++i)
        if(!ls[i])
            dfs(find(i));
    while(q--)
    {
        int v=read(),x=read(),k=read();
        write(query(v,x,k)),puts("");
    }
    return 0;
}

完整代码（在线）

#include <bits/stdc++.h>
#define getchar nc
#define N 200005
#define M N<<4
#define K 500005
using namespace std;
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read()
{
    register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline void write(register int x)
{
    if(!x)putchar('0');if(x<0)x=-x,putchar('-');
    static int sta[20];register int tot=0;
    while(x)sta[tot++]=x%10,x/=10;
    while(tot)putchar(sta[--tot]+48);
}
struct node{
    int u,v,c;
    node(){}
    node(int u,int v,int c):u(u),v(v),c(c){}
    inline bool operator <(const node &b)const
    {
        return c<b.c;
    }
}E[K];
struct edge{
    int to,next;
}e[N];
int head[N],tot;
inline void add(register int u,register int v)
{
    e[++tot]=(edge){v,head[u]};
    head[u]=tot;
}
int n,m,q,limit,dfn;
int bin[25];
int fa[N],val[N],f[N][20];
int b[N>>1],h[N>>1];
int ls[N],rs[N],rt[N],num;
int sum[M],L[M],R[M],cnt;
inline void mission(register int x)
{
    for(register int i=1;bin[i]<=n;++i)
        f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
}
inline void update(register int last,register int &now,register int l,register int r,register int x)
{
    sum[now=++cnt]=sum[last]+1;
    if(l==r)
        return;
    int mid=l+r>>1;
    if(x<=mid)
        R[now]=R[last],update(L[last],L[now],l,mid,x);
    else
        L[now]=L[last],update(R[last],R[now],mid+1,r,x);
}
inline int query(register int a,register int x,register int k)
{
    int l=1,r=limit;
    for(register int j=18;~j;--j)
        if(f[a][j]&&val[f[a][j]]<=x)
            a=f[a][j];
    int v=rt[rs[a]],u=rt[ls[a]-1];
    if(sum[v]-sum[u]<k)
        return -1;
    while(l<r)
    {
        int tmp=sum[R[v]]-sum[R[u]],mid=l+r>>1;
        if(tmp>=k)
            v=R[v],u=R[u],l=mid+1;
        else
            v=L[v],u=L[u],r=mid,k-=tmp;
    }
    return b[r];
}
inline void dfs(register int u)
{
    mission(u);
    ls[u]=++num;
    if(u<=n)
        update(rt[num-1],rt[num],1,limit,h[u]);
    else
        rt[num]=rt[num-1];
    for(register int i=head[u];i;i=e[i].next)
        dfs(e[i].to);
    rs[u]=num;
}
inline int find(register int x)
{
    return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
int main()
{
    n=read(),m=read(),q=read();
    bin[1]=1;
    for(register int i=2;i<=22;++i)
        bin[i]=bin[i-1]<<1;
    for(register int i=1;i<=n<<1;++i)
        fa[i]=i;
    for(register int i=1;i<=n;++i)
        b[i]=h[i]=read();
    sort(b+1,b+n+1);
    limit=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
    for(register int i=1;i<=n;++i)
        h[i]=lower_bound(b+1,b+limit+1,h[i])-b;
    for(register int i=1;i<=m;++i)
    {
        int u=read(),v=read(),c=read();
        E[i]=node(u,v,c);
    }
    sort(E+1,E+m+1);
    dfn=n;
    for(register int i=1;i<=m;++i)
    {
        int u=find(E[i].u),v=find(E[i].v);
        if(u!=v)
        {
            val[++dfn]=E[i].c;
            fa[u]=fa[v]=dfn;
            add(dfn,u),add(dfn,v);
            f[u][0]=f[v][0]=dfn;
            if(dfn-n==n-1)
                break;
        }
    }
    for(register int i=1;i<=dfn;++i)
        if(!ls[i])
            dfs(find(i));
    int lastans=0,v,x,k;
    while(q--)
    {
        if(~lastans)
            v=read()^lastans,x=read()^lastans,k=read()^lastans;
        else
            v=read(),x=read(),k=read();
        write(lastans=query(v,x,k)),puts("");
    }
    return 0;
}