【[AH2017/HNOI2017]礼物】

题目

又是我不会做的题了

看看柿子吧

\[\sum(a_i+c-b_i)^2
\]

最小化这个柿子

之所以不写下标是因为我们这个\(\{a\},\{b\}\)可以循环同构

那就开始化吧

\[\sum(a_i+c-b_i)^2
\]

\[=\sum(a_i+c)^2+\sum b_i^2-\sum2(a_i+c)b_i
\]

\[=\sum a_i^2+nc^2+c\sum 2a_i+\sum b_i^2-c\sum b_i-2\sum a_ib_i
\]

整理一下

\[\sum a_i^2+\sum b_i^2+nc^2+c\sum 2(a_i-b_i)-2\sum a_ib_i
\]

前面的两项是定值，我们可以不用管

中间的这个东西

\[nc^2+c\sum 2(a_i-b_i)
\]

这是一个关于\(c\)的二次函数，我们可以直接使得

\[c=-\frac{\sum 2(a_i-b_i)}{2n}=\frac{\sum b_i-a_i}{n}
\]

这样就能取得最小值了，但这样\(c\)可能不是整数，所以\(c+1,c-1\)都要试一下

最后面这一项

\[2\sum a_ib_i
\]

最大化这个就可以了

这个东西跟循环同构可是有很大关系的

我们发现我们可以将\(\{a\},\{b\}\)中的一个翻转以后被长，这样我们做就得到了一个卷积

之后求出所有的\(n\)种来取一个\(max\)就好了

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define maxn 500005
#define eps 1e-2
#define re register
#define LL long long
#define double long double
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline int read()
{
	char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();
	return x;
}
const double Pi=acos(-1);
struct complex
{
	double r,c;
	complex (double a=0,double b=0) {r=a,c=b;}
}f[maxn],g[maxn],og,og1,t;
int n,a[maxn],b[maxn],m,len,rev[maxn];
LL Sa,Sb,Sxa,Sxb;
complex operator +(complex a,complex b) {return complex(a.r+b.r,a.c+b.c);}
complex operator -(complex a,complex b) {return complex(a.r-b.r,a.c-b.c);}
complex operator *(complex a,complex b) {return complex(a.r*b.r-a.c*b.c,a.r*b.c+a.c*b.r);}
inline void FFT(complex *f,int v)
{
	for(re int i=0;i<=len;i++) if(i<rev[i]) std::swap(f[i],f[rev[i]]);
	for(re int i=2;i<=len;i<<=1)
	{
		int ln=i>>1;
		og1=complex(cos(Pi/ln),v*sin(Pi/ln));
		for(re int l=0;l<len;l+=i)
		{
			og=complex(1,0);
			for(re int x=l;x<l+ln;x++)
			{
				t=og*f[x+ln];
				f[x+ln]=f[x]-t;
				f[x]=f[x]+t;
				og=og*og1;
			}
		}
	}
}
int main()
{
	n=read();m=read();
	for(re int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),Sa+=a[i],Sxa+=a[i]*a[i];
	for(re int i=1;i<=n;i++) b[i]=read(),Sb+=b[i],Sxb+=b[i]*b[i];
	len=1;while(len<n+n+n+3) len<<=1;
	for(re int i=1;i<=n;i++) f[i].r=a[i],f[i].c=0;
	for(re int i=1;i<=n;i++) g[i].r=b[n-i+1],g[i].c=0,g[i+n]=g[i];
	for(re int i=0;i<=len;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?(len>>1):0);
	FFT(f,1),FFT(g,1);
	for(re int i=0;i<len;i++) f[i]=f[i]*g[i];
	FFT(f,-1);
	for(re int i=0;i<len;i++) f[i].r/=len;
	double now=0;
	for(re int i=n+1;i<=n+n+1;i++) now=max(now,f[i].r);
	LL ans=(now+eps);
	ans=Sxa+Sxb-2*ans;
	double mid=(Sb-Sa)/n;
	LL X=mid;
	LL last=(LL)n*X*X+X*2*(Sa-Sb)+ans;
	X++;last=min(last,(LL)n*X*X+X*2*(Sa-Sb)+ans);
	X-=2;last=min(last,(LL)n*X*X+X*2*(Sa-Sb)+ans);
	printf("%lld\n",last);
	return 0;
}