【2008nmj】Logistic回归二元分类感知器算法.docx

给你一堆样本数据(xi,yi)，并标上标签[0,1]，让你建立模型(分类感知器二元)，对于新给的测试数据进行分类。

要将两种数据分开，这是一个分类问题，建立数学模型，(x,y,z),z指示[0,1]，那么假设模型是线性的，如下图所示。有一道线ax+b=y

那么左右两边数据实际上并不等量，那么这时最小二乘并不好用，因为它没有考虑到可能性的大小等因素。那么用最小二乘建模的比较粗糙。（并没有用到标签数据……？用到了。）而感知器又比较粗暴简单的分为0、1两种情况。实际上属于0的可能性和属于1的可能性都是有可能的，只是大或小而已。因此用Logistic回归建模的方法是最好的？（也许还有神经网络、遗传算法、灰度模型等模型）

x1（x）	x2（y）	z（z）标签
7	31	0
12	22	0
13	42.5	0
15	34	0
18	9	0
22.5	35	0
23	44.5	0
25	25	0
25	34	0
25	54.5	0
32	19	0
34	45	0
36	37	0
36	36	0
45	51	0
40	42	1
48	9	1
48	24	1
54	16	1
56	6	1
56	38	1
61	30.5	1
64.5	23	1
69	13	1
74	40	1
76	4	1

由标签可知这是监督分类。

设每个样本为0和为1的可能性符合sigmoid分布。

设模型x=w0+w1x1+w2x2

按sigmoid函数的形式求出：

由于sigmoid函数的定义域为(-∞,∞)，值域为(0,1)，因此最基本的LR分类器适合对两类目标进行分类。

所以Logistic回归最关键的问题就是研究如何求得w0,w1,…,wn这组权值。这个问题是用极大似然估计来做到。

怎样分类效果最好呢？

下面正式地来讲Logistic回归模型。

考虑具有2个独立变量的向量x=(x1,x2)，设条件概率

P(y=1|x)=p为根据观测量相对于某事件x发生的概率。那么Logistic回归模型可以表示为

这里称为Logistic函数。其中

那么在x条件下y不发生的概率为

所以事件发生与不发生的概率之比为

这个比值称为事件的发生比（the odds of experiencing an event），简记为odds。

对odds取对数得到

可以看出Logistic回归都是围绕一个Logistic函数来展开的。接下来就讲如何用极大似然估计求分类器的参数。

假设有个观测样本，观测值分别为，设为给定条件下得到的概率，同样地，

的概率为，所以得到一个观测值的概率为。

因为各个观测样本之间相互独立，那么它们的联合分布为各边缘分布的乘积。得到似然函数为

然后我们的目标是求出使这一似然函数的值最大的参数估计，最大似然估计就是求出参数

，使得

取得最大值，对函数取对数得到

继续对这个分别求偏导，得到个方程，比如现在对参数求偏导，由于

所以得到

这样的方程一共有个，所以现在的问题转化为解这个方程形成的方程组。

上述方程比较复杂，一般方法似乎不能解之，所以我们引用了牛顿-拉菲森迭代方法求解。

利用牛顿迭代求多元函数的最值问题以后再讲。。。

简单牛顿迭代法：http://zh.m.wikipedia.org/wiki/%E7%89%9B%E9%A1%BF%E6%B3%95

实际上在上述似然函数求最大值时，可以用梯度上升算法，一直迭代下去。梯度上升算法和牛顿迭代相比，收敛速度

慢，因为梯度上升算法是一阶收敛，而牛顿迭代属于二阶收敛。

http://blog.csdn.net/ariessurfer/article/details/41310525

参考文献:

1. 公式法

>>X=[7 31;12 22;13 22;15 34;18 9;22.5 35;23 44.5;25 25;25 34;25 54.5;32 19;34 45;36 37;36 36;45 51;40 42;48 9;48 24;54 16;56 6;56 38;61 30.5;64.5 23;69 13;74 40;76 4];

>>Y=[-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1]

>>A=inv(X'*X);

>>theta=A*X'*Y;

2. logistic regression

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