[矩阵快速幂]HDOJ4565 So Easy!

题意：给a, b, n, m

求 $\left \lceil ( a+ \sqrt b )^n \right \rceil$ % m

看到 $( a+ \sqrt b )^n$ 虽然很好联想到共轭 但是推出矩阵还是比较难的

$(a+\sqrt b)^n + (a-\sqrt b)^n$

= $(C^0_n a^n + C^1_n a^{n-1} \sqrt{b} + ... + C^{n-1}_n a \sqrt{b}^{n-1} + C^n_n (\sqrt b)^n)$

+ $(C^0_n a^n + (-1)^1 C^1_n a^{n-1} \sqrt{b} + ... + (-1)^{n-1} C^{n-1}_n a \sqrt{b}^{n-1} + (-1)^n C^n_n \sqrt b^{ n})$

对于 n+1 项 $C^i_n$ 其中所有 i 为奇数的都消掉了 只剩下偶数项

= $2 \sum\limits_{i=0,i为偶数}^n C^i_n a {\sqrt b}^{ i}$

偶数 所以可以把根号开掉 得到

= $2 \sum\limits_{i=0}^{\frac{n}{2}} C^i_n a {b}^{ i}$

很明显这是一个整数

数据范围为：$(a-1)^2 < b < a^2$

　　那么　　　 $a-1 < \sqrt b < a$

　　那么          $0 < a-\sqrt b < 1$

$(a+\sqrt b)^n + (a-\sqrt b)^n$ 是个整数 同时 $a-\sqrt b$ 大于0 小于1

因此 $\left \lceil ( a+ \sqrt b )^n \right \rceil = (a+\sqrt b)^n + (a-\sqrt b)^n$  (画上这个等号真是不容易!)

求 $(a+\sqrt b)^n + (a-\sqrt b)^n$ 就变得很简单了

通过二次特征方程$x^2-2ax+(a^2-b)=0$

可以得到$S_n = 2aS_{n-1}+(b-a^2)S_{n-2}$

写成矩阵形式：

$$\begin{pmatrix} S_n\\S_{n-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & {b-a^2}\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} S_{n-1}\\S_{n-2}\end{pmatrix}$$

$$= {\begin{pmatrix} a & {b-a^2}\\ 1 & 0\end{pmatrix}}^{n-1} \begin{pmatrix} 2a \\ 2 \end{pmatrix}$$

$b-a^2$ 很容易为负 n-1次方之后 更加负

为了防止答案为负 记得多加几个mod哟~

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 LL mod;
 struct Mat
 {
     LL t[][];
 };
 Mat mul(Mat a, Mat b)
 {
     Mat c;
     memset(c.t, , sizeof(c.t));
     for(int i=;i<;i++)
         for(int k=;k<;k++)
             if(a.t[i][k])
                 for(int j=;j<;j++)
                     c.t[i][j]=(c.t[i][j]+a.t[i][k]*b.t[k][j])%mod;
     return c;
 }
 Mat expo(Mat p, LL k)
 {
     if(k==)
         return p;
     Mat e;
     memset(e.t, , sizeof(e.t));
     for(int i=;i<;i++)
         e.t[i][i]=;
     if(k==)
         return e;
     while(k)
     {
         if(k & )
             e=mul(p, e);
         p=mul(p, p);
         k>>=;
     }
     return e;
 }
 LL MOD(LL x)
 {
     while(x<)
         x+=mod;
     return x%mod;
 }
 int main()
 {
 //freopen("in.txt", "r", stdin);
 //freopen("out.txt", "w", stdout);
     LL a, b, n;
     while(cin>>a>>b>>n>>mod)
     {
         Mat m;
         m.t[][]=*a, m.t[][]=b-a*a;
         m.t[][]=,   m.t[][]=;
         Mat ans=expo(m, n-);
         cout<<MOD(ans.t[][]**a+*ans.t[][])<<endl;
     }
     return ;
 }

HDOJ 4565