洛谷P2221 [HAOI2012]高速公路（线段树+概率期望）

传送门

首先，答案等于$$ans=\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^r\frac{sum(i,j)}{C_{r-l+1}^2}$$

也就是说所有情况的和除以总的情况数

因为这是一条链，我们可以把边也转化成一个序列，用$i$表示$(i,i+1)$这一条边，那么只要把区间的右端点减一即可

。发现下面的$C_{r-l+1}^2$很好计算，考虑怎么计算上面的，转化，我们考虑每条边会被算多少次，那么答案变成$$\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^r{sum(i,j)}=\sum_{i=l}^rw_i(i-l+1)(r-i+1)$$

也就是说左端点取遍这条边左边的所有点，右端点也取遍右边的所有点

化简之后可以得到$$(r+1)(1-l)\sum w_i+(l+r)w_i*i-\sum w_i*i^2$$

然后用线段树维护即可

ps：$\sum w_i$很好维护，$\sum w_i*i$在区间加的时候用等差数列求和公式计算贡献，$\sum w_i*i^2$用公式$\sum_{i=1}^n i^2=\frac{(2n+1)n(n+1)}{6}$计算前缀和再相减来考虑贡献

pps：因为区间的右端点减一了，所以组合数应该变成$C_{r-l+2}^2$

 //minamoto
 #include<bits/stdc++.h>
 #define ll long long
 using namespace std;
 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
 inline int read(){
     #define num ch-'0'
     char ch;bool flag=;int res;
     while(!isdigit(ch=getc()))
     (ch=='-')&&(flag=true);
     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*+num);
     (flag)&&(res=-res);
     #undef num
     return res;
 }
 inline char getop(){
     char ch;while((ch=getc())!='C'&&ch!='Q');return ch;
 }
 char sr[<<],z[];int C=-,Z;
 inline void Ot(){fwrite(sr,,C+,stdout),C=-;}
 inline void print(ll x){
     if(C><<)Ot();if(x<)sr[++C]=,x=-x;
     while(z[++Z]=x%+,x/=);
     while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
 }
 const int N=1e5+;
 inline ll gcd(ll a,ll b){
     if(!b) return a;
     while(b^=a^=b^=a%=b);
     return a;
 }
 inline ll calc(int x){return 1ll*(x<<|)*x*(x+)/;}
 int n,m,tag[N<<];ll sum[N<<][];
 #define ls (p<<1)
 #define rs (p<<1|1)
 inline void upd(int p){for(int i=;i<;++i)sum[p][i]=sum[ls][i]+sum[rs][i];}
 inline void ppd(int p,int l,int r,int w){
     int x=r-l+;tag[p]+=w;
     sum[p][]+=1ll*x*w;
     sum[p][]+=1ll*x*w*(l+r)>>;
     sum[p][]+=1ll*w*(calc(r)-calc(l-));
 }
 inline void pd(int p,int l,int r){
     int mid=(l+r)>>,w=tag[p];tag[p]=;
     ppd(ls,l,mid,w),ppd(rs,mid+,r,w);
 }
 void update(int p,int l,int r,int ql,int qr,int w){
     if(ql<=l&&qr>=r) return ppd(p,l,r,w);
     int mid=(l+r)>>;if(tag[p]) pd(p,l,r);
     if(ql<=mid) update(ls,l,mid,ql,qr,w);
     if(qr>mid) update(rs,mid+,r,ql,qr,w);
     upd(p);
 }
 ll query(int p,int l,int r,int ql,int qr,int t){
     if(ql<=l&&qr>=r) return sum[p][t];
     int mid=(l+r)>>;ll res=;if(tag[p]) pd(p,l,r);
     if(ql<=mid) res+=query(ls,l,mid,ql,qr,t);
     if(qr>mid) res+=query(rs,mid+,r,ql,qr,t);
     return res;
 }
 int main(){
 //    freopen("testdata.in","r",stdin);
     n=read(),m=read();--n;ll x,y,g;
     while(m--){
         char op=getop();int l=read(),r=read();--r;
         if(op=='C') x=read(),update(,,n,l,r,x);
         else{
             y=1ll*(r-l+)*(r-l+)>>;
             x=query(,,n,l,r,)*(r+)*(-l)+query(,,n,l,r,)*(l+r)-query(,,n,l,r,);
             g=gcd(x,y);print(x/g),sr[C]='/',print(y/g);
         }
     }
     return Ot(),;
 }