hdu5829 Rikka with Subset
首先考虑本题的$O(n^2)$做法。
$Part1$
对原序列从大到小排序后,考虑每个数字对最终答案的贡献,有第x个数字对答案的贡献十分难以计算,所以考虑计算数字x是集合第K大的方案数,作为数字x对$ans(K)$的贡献,然后对$ans$求前缀和,这样得到了x是集合第1~K大的对答案的贡献
$Part2$
考虑计算$ans(K)$只考虑子集合之中第K大的数的贡献,显然有
$$ ans(k) = \sum_{i=k}^n {C_{i-1}^{k-1}*2^{n-i}*a(i)} $$
( $a(i)$表示排序后的原序列 )
显然是一个卷积的形式。
$$ ans(k)*(k-1)! = \sum_{i=k}^n{\frac{1}{(i-k)!} * 2^{n-i}*a(i)*(i-1)! } $$
$A0(i) = 2^{n-i}*a(i)*(i-1)!$
$A(i) = A0(n-i)$
$B(i) = \frac{1}{i!} $
$C0(i) = ans(k)*(k-1)!*$
$C(i) = C0(n-i)$
有
$$ C(k) = \sum_{i=0}^{k}{A(i)*B(k-i)} $$
多项式乘法形式,用NTT或者FFT实现O(nlogn)
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm> #define mod0 998244353
#define gn 3
#define N 400010
#define LL long long using namespace std; inline int mul(int a,int b,int P){
if(a*(LL)b<(LL)P) return a*b;
return (int)(a*(LL)b%(LL)P);
} inline int add(int a,int b,int P){
if(a+b>=P) return a+b-P;
return a+b;
} inline int qpow(int x,int n,int P){
int ans=;
for(;n;n>>=,x=mul(x,x,P))
if(n&) ans=mul(ans,x,P);
return ans;
} int wt[N],R[N]; void fnt(int *x,int n,int t,int P){
for(int i=;i<n;i++) if(i<R[i]) swap(x[i],x[R[i]]);
for(int m=;m<n;m<<=){
int wn=qpow(gn,(P-)/(m<<),P);
if(t==-) wn=qpow(wn,P-,P);
wt[]=;
for(int i=;i<m;i++) wt[i]=mul(wt[i-],wn,P);
for(int k=;k<n;k+=(m<<))
for(int i=;i<m;i++){
int &A=x[i+m+k];
int &B=x[i+k],t=mul(A,wt[i],P);
A=add(B,P-t,P); B=add(B,t,P);
}
}
if(t==-){
int tmp=qpow(n,P-,P);
for(int i=;i<n;i++) x[i]=mul(x[i],tmp,P);
}
} int n,m;
int a[N],b[N],c[N],ans[N],fac[N],a0[N]; void mulpoly(int P){
m=*n;
int L=,n;
for(n=;n<=m;n<<=) L++;
for(int i=;i<n;i++) R[i]=(R[i>>]>>)|((i&)<<(L-));
fnt(a,n,,P); fnt(b,n,,P);
for(int i=;i<n;i++) c[i]=mul(a[i],b[i],P);
fnt(c,n,-,P);
for(int i=;i<=n;i++) a[i]=b[i]=;
} bool cmp(int a,int b){
return a>b;
} int inv(int x,int P){
return qpow(x,P-,P);
} int main(){
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a0[i]);
sort(a0+,a0+n+,cmp);
fac[]=;
for(int i=;i<=n;i++) fac[i]=mul(fac[i-],i,mod0);
for(int i=;i<=n;i++){
a0[i]=mul(a0[i]%mod0,qpow(,n-i,mod0),mod0);
a0[i]=mul(a0[i],fac[i-],mod0);
}
for(int i=;i<=n;i++){
a[i]=a0[n-i];
b[i]=inv(fac[i],mod0);
}
mulpoly(mod0);
for(int i=;i<=n;i++) ans[i]=mul(c[n-i], inv(fac[i-],mod0),mod0);
for(int i=;i<=n;i++) ans[i] = add(ans[i],ans[i-],mod0);
for(int i=;i<=n;i++) printf("%d%c",ans[i],i==n?'\n':' ');
}
return ;
}
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