hdu5829 Rikka with Subset

首先考虑本题的$O(n^2)$做法。

$Part1$
对原序列从大到小排序后，考虑每个数字对最终答案的贡献，有第x个数字对答案的贡献十分难以计算，所以考虑计算数字x是集合第K大的方案数，作为数字x对$ans(K)$的贡献，然后对$ans$求前缀和，这样得到了x是集合第1~K大的对答案的贡献

$Part2$
考虑计算$ans(K)$只考虑子集合之中第K大的数的贡献，显然有
$$ ans(k) = \sum_{i=k}^n {C_{i-1}^{k-1}*2^{n-i}*a(i)} $$
( $a(i)$表示排序后的原序列 )
显然是一个卷积的形式。
$$ ans(k)*(k-1)! = \sum_{i=k}^n{\frac{1}{(i-k)!} * 2^{n-i}*a(i)*(i-1)! } $$
$A0(i) = 2^{n-i}*a(i)*(i-1)!$
$A(i) = A0(n-i)$
$B(i) = \frac{1}{i!} $
$C0(i) = ans(k)*(k-1)!*$
$C(i) = C0(n-i)$
有
$$ C(k) = \sum_{i=0}^{k}{A(i)*B(k-i)} $$
多项式乘法形式，用NTT或者FFT实现O(nlogn)

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>

 #define mod0 998244353
 #define gn 3
 #define N 400010
 #define LL long long

 using namespace std;

 inline int mul(int a,int b,int P){
     if(a*(LL)b<(LL)P) return a*b;
     return (int)(a*(LL)b%(LL)P);
 }

 inline int add(int a,int b,int P){
     if(a+b>=P) return a+b-P;
     return a+b;
 }

 inline int qpow(int x,int n,int P){
     int ans=;
     for(;n;n>>=,x=mul(x,x,P))
         if(n&) ans=mul(ans,x,P);
     return ans;
 }

 int wt[N],R[N];

 void fnt(int *x,int n,int t,int P){
     for(int i=;i<n;i++) if(i<R[i]) swap(x[i],x[R[i]]);
     for(int m=;m<n;m<<=){
         int wn=qpow(gn,(P-)/(m<<),P);
         if(t==-) wn=qpow(wn,P-,P);
         wt[]=;
         for(int i=;i<m;i++) wt[i]=mul(wt[i-],wn,P);
         for(int k=;k<n;k+=(m<<))
             for(int i=;i<m;i++){
                 int &A=x[i+m+k];
                 int &B=x[i+k],t=mul(A,wt[i],P);
                 A=add(B,P-t,P); B=add(B,t,P);
             }
     }
     if(t==-){
         int tmp=qpow(n,P-,P);
         for(int i=;i<n;i++) x[i]=mul(x[i],tmp,P);
     }
 }

 int n,m;
 int a[N],b[N],c[N],ans[N],fac[N],a0[N];

 void mulpoly(int P){
     m=*n;
     int L=,n;
     for(n=;n<=m;n<<=) L++;
     for(int i=;i<n;i++) R[i]=(R[i>>]>>)|((i&)<<(L-));
     fnt(a,n,,P); fnt(b,n,,P);
     for(int i=;i<n;i++) c[i]=mul(a[i],b[i],P);
     fnt(c,n,-,P);
     for(int i=;i<=n;i++) a[i]=b[i]=;
 }

 bool cmp(int a,int b){
     return a>b;
 }

 int inv(int x,int P){
     return qpow(x,P-,P);
 }

 int main(){
     int T;
     scanf("%d",&T);
     while(T--){
         scanf("%d",&n);
         for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a0[i]);
         sort(a0+,a0+n+,cmp);
         fac[]=;
         for(int i=;i<=n;i++) fac[i]=mul(fac[i-],i,mod0);
         for(int i=;i<=n;i++){
             a0[i]=mul(a0[i]%mod0,qpow(,n-i,mod0),mod0);
             a0[i]=mul(a0[i],fac[i-],mod0);
         }
         for(int i=;i<=n;i++){
             a[i]=a0[n-i];
             b[i]=inv(fac[i],mod0);
         }
         mulpoly(mod0);
         for(int i=;i<=n;i++) ans[i]=mul(c[n-i], inv(fac[i-],mod0),mod0);
         for(int i=;i<=n;i++) ans[i] = add(ans[i],ans[i-],mod0);
         for(int i=;i<=n;i++) printf("%d%c",ans[i],i==n?'\n':' ');
     }
     return ;
 }