制作简单的2D物理引擎（一）——动力学基础

一切的基础

点

在二维平面中，点$P$就是坐标$(x,y)$，点集就是一系列坐标的集合$\{P_1,P_2,...,P_n\}$，不过这个集合是有序的（顺时针）。

向量

加减运算

$$\vec{P}\pm\vec{Q}=(P_x\pm Q_x,P_y\pm Q_y)$$

模

$$\vert\vec{P}\vert=\sqrt{P_x^2+P_y^2}$$

单位向量

$$\vec{e}=\frac{\vec{P}}{\vert\vec{P}\vert}$$

角度

$$\alpha=arctan(\frac{y}{x})$$

旋转

$$
\left[\begin{array}{c}
x'\\
y'
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
cos(\alpha) & -sin(\alpha)\\
sin(\alpha) & cos(\alpha)
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right]
$$

点积

主要用来判断角度关系。

$$\vec{P}\cdot\vec{Q}=(P_{x}+Q_{x},P_{y}+Q_{y})$$

叉积

主要用来求面积。

$$
\vec{P}\times\vec{Q}=\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{\vec{i}} & \boldsymbol{\vec{j}} & \vec{\boldsymbol{k}}\\
P_{x} & P_{y} & P_{z}\\
Q_{x} & Q_{y} & Q_{z}
\end{array}\right|
$$

物体的表示

我们只实现一类物体——凸几何体。

几何属性

顶点集

凸几何体固有的几何外形——$N$个顶点，所以只需要储存这些顶点即可。

有人问：物体运动后，位置改变了怎么办？一般而言，要对原始顶点集做矩阵变换，才能得到最终位置。

轴向量

另外，为了便于计算，还需要储存一些向量——几何体每条边的单位向量。

面积

由已知的顶点集可以确定一个几何体，那如何求其面积？

假设由原点$O$和任意两个相邻顶点$P$、$Q$组成三角形，那么这些所有三角形加起来就是几何形的面积。

现在就是求$\triangle OPQ$的面积了。由叉乘的定义，两向量叉乘的结果的模就是其相应平行四边形的面积。

故有$2S=(Q_x-P_x)\times(Q_y+P_y)$。

重心

在这里，物体的密度$\rho$是均匀的。

设顶点数为$n$，顶点$P_1\sim P_n$，故

$$\vec{P_G}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\vec{P_i}$$

物理属性

质量、速度、位置、受力、密度、角偏、角加速度、扭矩、摩擦系数等。

外观属性

美观起见，给物体添加颜色。

物体的运动

力学令人着迷，用计算机来模拟力学就不那么容易了，万事开头难，做仿真还是要从理论学起。

力学无非就是加速度、碰撞、摩擦等内容。不过对物体（刚体）来说，它的运动不是平动就是转动。

平动

平动部分是较为简单的，最经典的公式：

• 力$F=ma$
• 速度$v=at$
• 位移$s=vt$

无须多言。

转动

刚体的转动可能令人感觉陌生，其实类比平动，大致相同。

平动中，力$F$产生加速度$a$，进而影响速度$v$，进而影响位移$s$。

转动中，力矩$M$产生角加速度$\alpha$，进而影响角速度$\omega$，进而影响角位移$\theta$。

力矩$M=r\times F$，$r$是力臂，$F$是外力。

但是，力矩$M$产生角加速度$\alpha$，公式是$M=J\alpha$，这里就比平动复杂了。$J$是转动惯量，也能用$I$表示，类比于质量$m$。

转动惯量

求几何体$\{P_1,P_2…P_n\}$的转动惯量。

根据公式：

$$I=\frac{{m}}{6}\frac{\sum_{i=1}^{n}\left\Vert \vec{P_{i+1}}\times\vec{P_{i}}\right\Vert (\vec{P_{i+1}^2}+\vec{P_{i+1}}\cdot \vec{P_{i}}+\vec{P_i^2})}{\sum_{i=1}^{n}\left\Vert \vec{P_{i+1}}\times\vec{P_{i}}\right\Vert }$$

力的交互

重力

物体在重力场中受到一个恒定方向、恒定大小的力$g$，将它算入总受力。

碰撞

两个物体间产生碰撞，这是物理引擎最核心的部分之一。

一般来说，要解决这几个问题：

1. 如何检测到碰撞的产生？
2. 如何确定碰撞点及方向？
3. 如何做精度修正？
4. 如何解决“子弹”问题？

解决了上述几个问题后，我们就可以求得发生碰撞的两个物体的总受力和力矩和，从而解析它们将要产生的平动和转动。

涉及碰撞的内容很多，在后面会讲到。

摩擦

物体受空气阻力和地面摩擦力影响。地面摩擦力对物体产生的影响算入力矩和。

总结

实际上，一个涉及力学的物理引擎要做的最主要的事就是：

求物体所受力和力矩，从而计算它将要发生的平动和转动。

但如何求得力和力矩？这便是一个很复杂的问题了。像重力可以直接影响物体所受力，摩擦可以直接影响物体所受力矩，这些都很简单。较为复杂的就是两个物体间的碰撞了，在这里，物体引擎有一半以上的代码是用来计算碰撞的。