CF573E Bear and Bowling

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我们设\(f_{i,j}\)表示前\(i\)个数中选\(j\)个的最大值。

那么显然有\(f_{i,j}=max(f_{i-1,j},f_{i-1,j-1}+j*a_i)\)。

这个东西我们首先可以把它的第一维给滚掉。

然后我们知道这是个\(O(n^2)\)的东西，所以要考虑优化。

有一个结论是\(\forall i\in[1,n],\exist k\in[1,i],s.t.\forall j\in[0,k),f_{i,j}=f_{i-1,j},\forall j\in[k,i],f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+j*a_i\)

这个东西感性理解一下吧，就是你前面选的越多，选\(a_i\)时可能产生的贡献就越大。

具体证明上洛谷题解里面找吧。

那么我们每次可以把\(k\)二分出来，然后就相当于在原序列的\(f_{k-1},f_k\)之间再插一个\(f_k\)进去，后面的\(f_j\)加上一个等差数列\(a_i*j\)。

这个东西可以用平衡树来做。

#include<bits/stdc++.h>
#define lc ch[p][0]
#define rc ch[p][1]
#define ll long long
using namespace std;
int read(){int x;scanf("%d",&x);return x;}
ll max(ll a,ll b){return a>b? a:b;}
const int N=100007;
int fa[N],ch[N][2],s[N],n,root,cnt;ll A[N],B[N],val[N];
int isr(int x){return ch[fa[x]][1]==x;}
void pushup(int p){s[p]=s[lc]+s[rc]+1;}
void modify(int p,ll a,ll b){val[p]+=a*(s[lc]+1)+b,A[p]+=a,B[p]+=b;}
void pushdown(int p){ if(A[p]||B[p]) { if(lc) modify(lc,A[p],B[p]); if(rc) modify(rc,A[p],B[p]+A[p]*(s[lc]+1)); A[p]=B[p]=0; } }
void pushall(int x){if(fa[x])pushall(fa[x]);pushdown(x);}
void rotate(int x)
{
    int y=fa[x],z=fa[y],k=isr(x);if(z)ch[z][isr(y)]=x;
    fa[x]=z,fa[y]=x,fa[ch[x][!k]]=y,ch[y][k]=ch[x][!k],ch[x][!k]=y,pushup(y);
}
void splay(int x)
{
    pushall(x);
    for(;fa[x];rotate(x)) if(fa[fa[x]]) rotate((isr(x)^isr(fa[x]))? x:fa[x]);
    pushup(root=x);
}
ll Kth(int k)
{
    int p=root;
    while(1)
	if(k>s[lc]+1) k-=s[lc]+1,p=rc;
	else if(s[lc]>=k) p=lc;
	else return splay(p),val[p];
}
ll query(int p)
{
    if(!p) return -1e18;
    pushdown(p);
    return max(val[p],max(query(lc),query(rc)));
}
int main()
{
    n=read(),s[1]=root=cnt=1;int i,x,l,r,mid,ans;
    for(i=1;i<=n;++i)
    {
	x=read(),l=0,r=i-2,ans=i-1;
	while(l<=r){mid=l+r>>1;if(Kth(mid+1)+(mid+1ll)*x>Kth(mid+2))ans=mid,r=mid-1;else l=mid+1;}
        Kth(ans+1),fa[++cnt]=root,fa[ch[root][1]]=cnt,ch[cnt][1]=ch[root][1],ch[root][1]=cnt,val[cnt]=val[root],modify(cnt,x,1ll*x*ans);
    }
    return !printf("%lld",query(root));
}