【LOJ#6036】[雅礼集训2017Day4]编码

传送门

题意简述

判定 n 个含 ? 字符的二进制串是否存在一种把 0/1 填入 ? 中的方案使得任意两个串不具有前缀关系。

(一个串最多一个 ?)

Sol

二进制串 ，并且一个串最多一个 '?'

很容易想到用 2-sat 和 trie 树。

那么问题变为插入这些二进制串，在 ‘?’ 处选择向哪边插入 ，使得任意一个结束节点的祖先节点中不存在一个结束节点。

然后我们考虑构建 2-sat 模型，首先每一个串分配一个变量表示 '?' 选择了什么(没有?就随便强制选则某一个就行了)

当然之后我们一种思路是直接用这些变量来判定并解决问题 ，不过复杂度显然是 \(O(n^2)\) 的。

考虑优化，因为是祖先中不能存在结束节点，我们给每一个 trie 树上的节点加一个变量表示除去自己外的祖先中是否存在结束节点，这个东西显然从上到下具有传递性，那么可以初步建图了。

然后看怎么体现一个串的 '?' 的决策情况。发现这个东西不是很好做，因为结束节点不会受到自己影响。那么我们直接新建一个变量好了，表示包含了当前位置的情况下祖先是否有结束节点。

之后我们还需要解决一个问题，就是一些不同的串可能共用了结束位置，我们显然不能够让他们共用一个变量，因为他们之间也是互相影响的，并且他们还来自不同的 '?' ，不能共用。

发现这个东西可以直接和上面的情况合并到一个变量上，因为本来我们插入完之后就要新建一个点，那么正好一起用，也不影响答案，把该连的边连上就行了。

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T>inline void init(T&x){
	x=0;char ch=getchar();bool t=0;
	for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') t=1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-48);
	if(t) x=-x;return;
}
#define TR(a) ((a)<<1|1)
#define FA(a) ((a)<<1)
const int N=5e5+10;
const int MAXN=3e6+10;
int son[MAXN][2];
char S[N];
char *s[N];int len[N],id[N];
int n,cnt=0;
inline bool cmp(int i,int j){return len[i]<len[j];}
struct edge{
	int to,next;
}a[MAXN];
int head[MAXN],cur=0,dfn[MAXN],low[MAXN],bel[MAXN],stk[MAXN],top=0,vis[MAXN],I=0,bcc;
inline void add(int x,int y){a[++cur]=(edge){y,head[x]};head[x]=cur;}
void tarjan(int u){
	dfn[u]=low[u]=++I,stk[++top]=u,vis[u]=1;
	for(int v,i=head[u];i;i=a[i].next){
		v=a[i].to;
		if(!dfn[v]) tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);
		else if(vis[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(dfn[u]==low[u]) {
		int v;++bcc;
		do{v=stk[top--];vis[v]=0;bel[v]=bcc;if(bel[v]==bel[v^1]) {puts("NO"),exit(0);}}while(v!=u);
	}
	return;
}
void Insert(char*s,int len,int Jud){
	int p=0,las=0;
	for(int i=1;i<=len;++i) {
		int c=s[i]-'0';
		las=p;
		if(son[p][c]) p=son[p][c];
		else {
			son[p][c]=++cnt;
			if(p) add(TR(p),TR(cnt)),add(FA(cnt),FA(p));
			p=cnt;
		}
	}
	++cnt;//新建点以防止出现多个串共用了一个点的情况 , 新建的点是要考虑当前点的!
	add(Jud,FA(p)),add(TR(p),Jud^1);
	add(TR(p),TR(cnt)),add(FA(cnt),FA(p));
	add(Jud,TR(cnt)),add(FA(cnt),Jud^1);
	son[las][(int)(son[las][1]==p)]=cnt;
}
int main()
{
	init(n);int now=1;cnt=n;// n 个串选择什么
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%s",S+now);
		len[i]=strlen(S+now);
		s[i]=&S[now-1];now+=len[i];
		id[i]=i;
	}sort(id+1,id+1+n,cmp);
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		int t=id[i];int j=0;
		for(j=1;j<=len[t];++j) {
			if(s[t][j]=='?') {// 有问号
				s[t][j]='0';Insert(s[t],len[t],FA(t));//填 0
				s[t][j]='1';Insert(s[t],len[t],TR(t));//填 1
				break;
			}
		}
		if(j>len[t]) {add(TR(t),FA(t));Insert(s[t],len[t],FA(t));}
	}
	for(int i=0;i<=cnt;++i) if(!dfn[i]) tarjan(i);
	puts("YES");
	return 0;
}