P3357 最长k可重线段集问题

题目描述

给定平面 x-O-yx−O−y 上 nn 个开线段组成的集合 II，和一个正整数 kk 。试设计一个算法，从开线段集合 II 中选取出开线段集合 S\subseteq IS⊆I ,使得在 xx 轴上的任何一点 pp，SS 中与直线 x=px=p 相交的开线段个数不超过 kk，且\sum\limits_{z\in S}|z|z∈S∑∣z∣达到最大。这样的集合 SS 称为开线段集合 II 的最长 kk 可重线段集。\sum\limits_{z\in S}|z|z∈S∑∣z∣ 称为最长 kk 可重线段集的长度。

对于任何开线段 zz，设其断点坐标为 (x_0,y_0)(x0,y0) 和 (x_1,y_1)(x1,y1)，则开线段 zz 的长度 |z|∣z∣ 定义为：|z|=\lfloor\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}\rfloor∣z∣=⌊(⌋

对于给定的开线段集合 II 和正整数 kk，计算开线段集合 II 的最长 kk 可重线段集的长度。

输入输出格式

输入格式：

文件的第一行有 22 个正整数 nn 和 kk，分别表示开线段的个数和开线段的可重叠数。

接下来的 nn 行，每行有 44 个整数，表示开线段的 22 个端点坐标。

输出格式：

程序运行结束时，输出计算出的最长 kk 可重线段集的长度。

输入输出样例

输入样例#1：复制

输出样例#1：复制

说明

1\leq n\leq5001≤n≤500

1 \leq k \leq 131≤k≤13

这个题目和之前的最长k可重区间集问题是一样的，就是把平面上的线段投影到x轴，但是呢，有一个点有问题，就是要

特判两条直线重合且垂直于x轴的这一种情况，具体是为什么呢，我也有点不明白为什么了，好像是会出现环的情况。

#include <cstdio>

#include <cstdlib>

#include <queue>

#include <vector>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#include <map>

#include <cstring>

#include <cmath>

#include <string>

#define inf 0x3f3f3f3f

using namespace std;

typedef long long ll;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

const int maxn = 1e5;

struct edge

{

    int u, v, c, f;

    ll cost;

    edge(int u, int v, int c, int f, ll cost) :u(u), v(v), c(c), f(f), cost(cost) {}

};

vector<edge>e;

vector<int>G[maxn];

int a[maxn];//找增广路每个点的水流量

int p[maxn];//每次找增广路反向记录路径

int d[maxn];//SPFA算法的最短路

int inq[maxn];//SPFA算法是否在队列中

int s, t;

void init(int n)

{

    for (int i = ; i <= n; i++)G[i].clear();

    e.clear();

}

void add(int u, int v, int c, ll cost)

{

    e.push_back(edge(u, v, c, , cost));

    e.push_back(edge(v, u, , , -cost));

    int m = e.size();

    G[u].push_back(m - );

    G[v].push_back(m - );

}

bool bellman(int s, int t, int& flow, long long & cost)

{

    memset(d, 0xef, sizeof(d));

    memset(inq, , sizeof(inq));

    d[s] = ; inq[s] = ;//源点s的距离设为0，标记入队

    p[s] = ; a[s] = INF;//源点流量为INF（和之前的最大流算法是一样的）

    queue<int>q;//Bellman算法和增广路算法同步进行，沿着最短路拓展增广路，得出的解一定是最小费用最大流

    q.push(s);

    while (!q.empty())

    {

        int u = q.front();

        q.pop();

        inq[u] = ;//入队列标记删除

        for (int i = ; i < G[u].size(); i++)

        {

            edge & now = e[G[u][i]];

            int v = now.v;

            if (now.c > now.f && d[v] < d[u] + now.cost)

                //now.c > now.f表示这条路还未流满（和最大流一样）

                //d[v] > d[u] + e.cost Bellman 算法中边的松弛

            {

                d[v] = d[u] + now.cost;//Bellman 算法边的松弛

                p[v] = G[u][i];//反向记录边的编号

                a[v] = min(a[u], now.c - now.f);//到达v点的水量取决于边剩余的容量和u点的水量

                if (!inq[v]) { q.push(v); inq[v] = ; }//Bellman 算法入队

            }

        }

    }

    if (d[t] < )return false;//找不到增广路

    flow += a[t];//最大流的值，此函数引用flow这个值，最后可以直接求出flow

    cost += (long long)d[t] * (long long)a[t];//距离乘上到达汇点的流量就是费用

    for (int u = t; u != s; u = e[p[u]].u)//逆向存边

    {

        e[p[u]].f += a[t];//正向边加上流量

        e[p[u] ^ ].f -= a[t];//反向边减去流量 （和增广路算法一样）

    }

    return true;

}

int MaxcostMaxflow(int s, int t, long long & cost)

{

    cost = ;

    int flow = ;

    while (bellman(s, t, flow, cost));//由于Bellman函数用的是引用，所以只要一直调用就可以求出flow和cost

    return flow;//返回最大流，cost引用可以直接返回最小费用

}

struct node

{

    int xx1, yy1, xx2, yy2;

    ll cost;

}exa[maxn];

bool cmp(node a, node b)

{

    return a.xx1 < b.xx1;

}

ll dis(int x, int y, int x1, int y1)

{

    return sqrt((x - x1) * 1ll * (x - x1) + (y - y1) * 1ll * (y - y1));

}

int main()

{

    int n, m;

    cin >> n >> m;

    int s1 = ;

    s = , t =  * n + ;

    for (int i = ; i <= n; i++)

    {

        cin >> exa[i].xx1 >> exa[i].yy1 >> exa[i].xx2 >> exa[i].yy2;

        if (exa[i].xx1 > exa[i].xx2)

        {

            swap(exa[i].xx1, exa[i].xx2);

            swap(exa[i].yy1, exa[i].yy2);

        }

        exa[i].cost = dis(exa[i].xx1, exa[i].yy1, exa[i].xx2, exa[i].yy2);

    }

    sort(exa + , exa +  + n, cmp);

    add(s, s1, m, );

    for (int i = ; i <= n; i++)

    {

        add(s1,  +  * i - , , );

        add( +  * i - ,  +  * i, , exa[i].cost);

        add( +  * i, t, , );

        for (int j = ; j < i; j++)

        {

            if (exa[j].xx2 == exa[i].xx1&&exa[j].xx1 == exa[j].xx2&&exa[i].xx1==exa[i].xx2) continue;

            if (exa[j].xx2 <= exa[i].xx1) add( +  * j,  +  * i - , , );

        }

    }

    ll cost = ;

    int ans = MaxcostMaxflow(s, t, cost);

    printf("%lld\n", cost);

    return ;

}