洛谷 P2015 二叉苹果树

老规矩，先放题面

题目描述

有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分2叉（就是说没有只有1个儿子的结点）

这棵树共有N个结点（叶子点或者树枝分叉点），编号为1-N,树根编号一定是1。

我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有4个树枝的树

2   5
\ /
 3   4
  \ /
   1

现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。

给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。

输入输出格式

输入格式：

第1行2个数，N和Q(1<=Q<= N,1<N<=100)。

N表示树的结点数，Q表示要保留的树枝数量。接下来N-1行描述树枝的信息。

每行3个整数，前两个是它连接的结点的编号。第3个数是这根树枝上苹果的数量。

每根树枝上的苹果不超过30000个。

输出格式：

一个数，最多能留住的苹果的数量。

输入输出样例

输入样例：

5 2

1 3 1

1 4 10

2 3 20

3 5 20

输出样例：

21

题意中有隐含条件，要仔细读题，如果要选择当前边的话，那么也必须它与根节点的连线上的边也必须全部选中

动态转移方程：\(f[u][j]=max(f[u][j],f[u][j-k-1]+f[v][k]+e[i].w)（1≤j≤min(q,b[u]),0≤k≤min(b[v],j-1))\)

\(u\)表示当前节点，\(v\)为他的一颗子节点，\(b\)数组表示以i为根节点树上的边数

看到这里，相信方程大家很容易就能看明白甚至自己就能想明白，但是范围为什么是这样的呢？

我们着重讲一下这个取值范围的问题

首先先看\(k\)，\(k\)在此处表示取\(v\)子树上的边数，最大自然不能超过\(b[v]\)但是为什么要小于等于\(j-1\)而不是\(j\)呢？

我们前面提到过了，题目中是有隐含条件的，若要选取子树\(v\)上的边，则必须选取\(u\)与\(v\)相连的边保证选取的边全部与根节点相连

然后就是\(j\)，\(b[u]\)数组是在实时发生变化的，它不断加上自己子树的边，保证背包容量不断扩大，此处千万不要写成\(b[v]\)

下放代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#define maxn 105
#define gc() getchar()
#define ll long long
using namespace std;

inline ll read(){
    ll a=0;char p=gc();int f=0;
    while(!isdigit(p)){f|=(p=='-');p=gc();}
    while(isdigit(p)){a=(a<<3)+(a<<1)+(p^48);p=gc();}
    return f?-a:a;
}

struct ahaha{
    int to,next,w;
}e[maxn<<1];
int n,q,head[maxn],f[maxn][maxn],b[maxn],sz;
inline void add(int u,int v,int z){
    e[sz].to=v;e[sz].w=z;e[sz].next=head[u];head[u]=sz++;
}
void dfs(int u,int fa){
	for(int i=head[u];~i;i=e[i].next){
	    int v=e[i].to;if(v==fa)continue;    //防止死循环
	    dfs(v,u);
	    b[u]+=b[v]+1;     //当前点的边数加上子树的边数后，还需加上与子树相连的那一条边
	    for(int j=min(q,b[u]);j>=1;--j)
	    	for(int k=min(b[v],j-1);k>=0;--k)
	    		f[u][j]=max(f[u][j],f[u][j-k-1]+f[v][k]+e[i].w);
	}
}

int main(){memset(head,-1,sizeof head);
	n=read();q=read();
	for(int i=1;i<n;++i){
		int x=read(),y=read(),z=read();
		add(x,y,z);add(y,x,z);    //由于是树，每条边我们添加两遍，便于使用
	}
	dfs(1,0);
	printf("%d",f[1][q]);
	return 0;
}