【XSY2785】模型

题目描述

　　给你一棵\(n\)个点的树，让你加最少的边，使得图中没有割点。

　　要求输出方案。

　　\(n\leq 500000\)

题解

　　把叶子的权值设为\(1\)，其他点设为\(0\)，找出带权重心。

　　以重心为根DFS，算出每棵子树的叶子节点个数。

　　设有\(l\)个叶子节点。易证每棵子树叶子节点个数不会超过\(\lfloor\frac{l}{2}\rfloor\)。

　　把子树按叶子节点个数从大到小排序，从第二大的子树开始，每棵子树选一个叶子和前面剩余最多叶子的子树中选一个叶子连一条边。

　　易证这样操作完后重心就不是割点，且剩余叶子最多的子树叶子不会超过总剩余叶子个数\(\div 2\)（向上取整）。

　　证明的话，显然次大叶子个数$\geq \(最大叶子个数\)-1$。

　　然后就每次选两个剩余叶子个数最多的子树连起来就好了。

　　时间复杂度：可以做到\(O(n)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
struct graph
{
	int v[1000010];
	int t[1000010];
	int h[500010];
	int n;
	graph()
	{
		memset(h,0,sizeof h);
		n=0;
	}
	void clear(int x)
	{
		for(int i=1;i<=x;i++)
			h[i]=0;
		n=0;
	}
	void add(int x,int y)
	{
		n++;
		v[n]=y;
		t[n]=h[x];
		h[x]=n;
	}
};
graph g;
int s[500010];
int f[500010];
int d[500010];
int rt,rtsz;
int tot;
vector<int> b[500010];
int h[500010];
void dfs(int x,int fa)
{
	f[x]=fa;
	s[x]=0;
	if(d[x]==1)
		s[x]++;
	for(int i=g.h[x];i;i=g.t[i])
		if(g.v[i]!=fa)
		{
			dfs(g.v[i],x);
			s[x]+=s[g.v[i]];
		}
}
void dfs2(int x)
{
	int mx=0;
	for(int i=g.h[x];i;i=g.t[i])
		if(g.v[i]!=f[x])
		{
			mx=max(mx,s[g.v[i]]);
			dfs2(g.v[i]);
		}
	mx=max(mx,tot-s[x]);
	if(d[x]>1)
	{
		if(mx<rtsz)
		{
			rtsz=mx;
			rt=x;
		}
	}
}
void dfs(int x,int fa,int y)
{
	if(d[x]==1)
		b[y].push_back(x);
	else
		for(int i=g.h[x];i;i=g.t[i])
			if(g.v[i]!=fa)
				dfs(g.v[i],x,y);
}
int e[500010];
int cmp(int x,int y)
{
	return b[x].size()>b[y].size();
}
vector<int> c[500010];
int ans[500010][2];
priority_queue<pii> q;
void solve()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	g.clear(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		d[i]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		b[i].clear();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		c[i].clear();
	int cnt=0;
	int x,y;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		d[x]++;
		d[y]++;
		g.add(x,y);
		g.add(y,x);
	}
	dfs(1,0);
	tot=s[1];
	rtsz=0x7fffffff;
	dfs2(1);
	int t=0;
	for(int i=g.h[rt];i;i=g.t[i])
	{
		dfs(g.v[i],rt,g.v[i]);
		e[++t]=g.v[i];
	}
	sort(e+1,e+t+1,cmp);
	for(int i=1;i<=t;i++)
		h[i]=b[e[i]].back();
	c[b[e[1]].size()].push_back(1);
	int now=b[e[1]].size();
	for(int i=2;i<=t;i++)
	{
		while(!c[now].size())
			now--;
		int y=c[now].back();
		c[now].pop_back();
		ans[++cnt][0]=b[e[i]].back();
		if(b[e[i]].size()>=1)
			b[e[i]].pop_back();
		c[b[e[i]].size()].push_back(i);
		if(b[e[y]].size()==0)
			ans[cnt][1]=h[y];
		else
			ans[cnt][1]=b[e[y]].back();
		if(b[e[y]].size()>=1)
			b[e[y]].pop_back();
		now=max(now,(int)b[e[i]].size());
		c[b[e[y]].size()].push_back(y);
		if(ans[cnt][0]==ans[cnt][1])
			printf("1\n");
	}
	while(!q.empty())
		q.pop();
	for(int i=1;i<=t;i++)
		if(b[e[i]].size())
			q.push(pii(b[e[i]].size(),i));
	while(!q.empty()&&q.top().first>=1)
	{
		pii x=q.top(),y;
		q.pop();
		if(!q.empty()&&q.top().first>=1)
		{
			y=q.top();
			q.pop();
		}
		else
			if(x.second==1)
				y=pii(0,2);
			else
				y=pii(0,1);
		ans[++cnt][0]=b[e[x.second]].back();
		b[e[x.second]].pop_back();
		if(b[e[y.second]].size()==0)
			ans[cnt][1]=h[y.second];
		else
		{
			ans[cnt][1]=b[e[y.second]].back();
			b[e[y.second]].pop_back();
		}
		x.first--;
		y.first--;
		if(x.first>0)
			q.push(x);
		if(y.first>0)
			q.push(y);
		if(ans[cnt][0]==ans[cnt][1])
			printf("2\n");
	}
	printf("%d\n",cnt);
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
		printf("%d %d\n",ans[i][0],ans[i][1]);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("a.in","r",stdin);
	freopen("a.out","w",stdout);
#endif
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
		solve();
	return 0;
}