Codeforces 1107G Vasya and Maximum Profit [单调栈]

洛谷

Codeforces

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我竟然能在有生之年踩标算。

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思路

首先考虑暴力：枚举左右端点直接计算。

考虑记录\(sum_x=\sum_{i=1}^x c_i\)，设选\([l,r]\)时那个奇怪东西的平方为\(f(l,r)\)，使劲推式子：

\[ans_{l,r}=(r-l+1)\times a-sum_r+sum_{l-1}-f(l,r)\\
ans_{l,r}+l\times a-a-sum_{l-1}=r\times a-sum_r-f(l,r)\\
ans_{l,r}+l\times a-a-sum_{l-1}=F_r-(\max_{i=l+1}^r\{d_{i}-d_{i-1}\})^2
\]

其中\(F_r=r\times a-sum_r\)。

发现左边只和\(l\)有关，所以可以考虑枚举\(l\)，用数据结构维护右边的最大值。

然而右边有一个\(\max\)较为麻烦，怎样在移动左端点时快速更新呢？

考虑\(\max\)在左端点一定时单调不降，所以左端点每次往左移一格，只会对连续的一部分\(r\)造成影响，将他们的\(\max\)弄成一样的。

既然一样了，那就可以记录一个\(\max\{F_r\}\)，然后把它们并在一起。

用一个单调栈记录\(r\)，每次\(l\)往左移一位，就把一堆满足\(\max<d_{l+1}-d_l\)的\(r\)缩在一起，记录它们的\(\max \{F_r\}\)。

栈里每个元素也要存自己右边的\(F_r-(\max_{i=l+1}^r\{d_{i}-d_{i-1}\})^2\)的最大值，用来统计答案。

复杂度显然是\(O(n)\)的。

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#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
	using namespace std;
	#define pii pair<int,int>
	#define fir first
	#define sec second
	#define MP make_pair
	#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
	#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
	#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
	#define templ template<typename T>
	#define sz 303030
	typedef long long ll;
	typedef double db;
	mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
	templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
	templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
	templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
	templ inline void read(T& t)
	{
		t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
		while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
		while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
		if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
		t=(f?-t:t);
	}
	template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
	char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
    inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
    inline void print(register int x)
    {
    	if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
    	while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    	while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
    }
	void file()
	{
		#ifndef ONLINE_JUDGE
		freopen("a.in","r",stdin);
		#endif
	}
	inline void chktime()
	{
		#ifndef ONLINE_JUDGE
		cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
		#endif
	}
	#ifdef mod
	ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
	ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
	#else
	ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
	#endif
//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

int n;ll a;
ll sum[sz];
ll d[sz];
ll F[sz];

struct hh
{
	ll f;
	ll mx;
	ll mxr;
}s[sz];
int top;
inline ll sq(ll x){return x*x;}

int main()
{
	file();
	read(n,a);
	ll x;
	rep(i,1,n) read(d[i],x),sum[i]=sum[i-1]+x,F[i]=a*i-sum[i];
	ll ans=max(a-sum[n]+sum[n-1],0ll);
	s[++top]=(hh){F[n],0,F[n]};
	s[0].mxr=-1e15;
	drep(i,n-1,1)
	{
		ll mxF=-1e15;
		while (top&&s[top].mx<=d[i+1]-d[i]) chkmax(mxF,s[top].f),s[top]=(hh){0,0,0},--top;
		if (mxF!=-1e15) {++top;s[top]=(hh){mxF,d[i+1]-d[i],max(mxF-sq(d[i+1]-d[i]),s[top-1].mxr)};}
		++top;s[top]=(hh){F[i],0,max(F[i],s[top-1].mxr)};
		chkmax(ans,s[top].mxr-a*i+a+sum[i-1]);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}