洛谷P1848 书架

好，我一直以为书架是splay，然后发现还有个优化DP的书架。妃的书架

蓝书和PPT上面都讲了，应该比较经典吧。

题意：

有n个物品，每个都有宽，高。

把它们分成若干段，使得每段的最大值的总和最小。且每段的总宽度不超过L。

n <= 100000

解：

首先有个很显然的DP是f[i] = min(f[j] + max(j + 1, i)), sum[i] - sum[j] <= L

然后如何优化呢？因为有max函数(非线性)所以难以单调队列。把决策打出来发现不单调。无计可施？？？

发现当i固定的时候，max(j + 1, i)是一段一段单减的。这样相当于能确定状态转移方程中的后者。

再看前者，f[j]这个东西，其实是单调不减的。证明：把f[j - 1]按照f[j]的方式划分即可<=f[j]。

怎么利用呢？朴素的想法是把每一个数前面最大的数用单调栈求出来，记为to[]数组。

那么每次转移的时候跳to[]即可。可以发现在区间(to[i], i)之间的转移都不优于to[i]。

这里忽视了一个小问题，有个宽度限制在这里。我的解决办法是用pos记录最早的一个能够转移过来的位置。pos的维护显然是线性的。

这个好想好写的东西最坏复杂度还是n²，递增序列就能卡掉，然而交上去有90分......

来考虑正解。我们能不能每次不跳to[]链，而是更快的求出最小值来转移呢？

很容易(困难)想到用堆维护。对于失效的转移用延迟删除法。

问题就只剩如何判断转移失效了。

如果转移的j < pos，显然不行。此外，如果j不在以i开头的to链上，也是不行的。

有个朴素的想法是用数组维护是否在to链上，即每次把i前面比i小的舍去，但是又会被递增卡成n²。

仔细思考，发现以i开头的to链就是单调栈在处理到i时的栈内元素。

于是我们一边DP一边维护单调栈，只需判断j是在否在栈中即可。

至此，时间复杂度优化为nlogn，可以通过此题。

记得开long long

 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 #include <queue>
 #define mp std::make_pair

 typedef long long LL;
 const int N = ;

 LL f[N], sum[N];
 int st[N][], pow[N], n, to[N], p[N], top;
 bool in_stk[N];
 std::priority_queue<std::pair<LL, int> > Q;

 inline void STinit() {
     int j = , lm = ;
     while(( << lm) <= n) {
         while(j < ( << (lm + )) && j <= n) {
             pow[j] = lm;
             j++;
         }
         lm++;
     }
     for(int j = ; j < lm; j++) {
         for(int i = ; i + ( << j) -  <= n; i++) {
             st[i][j] = std::max(st[i][j - ], st[i + ( << (j - ))][j - ]);
         }
     }
     return;
 }

 inline int getmax(int l, int r) {
     int t = pow[r - l + ];
     return std::max(st[l][t], st[r - ( << t) + ][t]);
 }

 int main() {
     int L;
     scanf("%d%d", &n, &L);
     for(int i = ; i <= n; i++) {
         scanf("%d%lld", &st[i][], &sum[i]);
         sum[i] += sum[i - ];
         f[i] = 1ll << ;
     }

     STinit();
     st[][] = 0x7f7f7f7f;
     to[] = -;

     int pos = ;
     for(int i = ; i <= n; i++) {
         while(st[i][] >= st[p[top]][]) {
             in_stk[p[top]] = ;
             top--;
         }
         to[i] = p[top];
         p[++top] = i;
         in_stk[i] = ;

         Q.push(mp(- * (f[to[i]] + getmax(to[i] + , i)), i));

         while(sum[i] - sum[pos] > L) {
             pos++;
         }
         while((!Q.empty()) && (to[Q.top().second] < pos || (!in_stk[Q.top().second]))) {
             Q.pop();
         }
         if(!Q.empty()) {
             f[i] = - * Q.top().first;
         }
         f[i] = std::min(f[i], f[pos] + getmax(pos + , i));
     }
     /*for(int i = 1; i <= n; i++) {
         printf("%lld ", f[i]);
     }*/
     printf("%lld", f[n]);
     return ;
 }

AC代码

但是还有很多可以改进的地方。

比如to这个数组可否舍去？ST表可否舍去？我是懒得优化了T_T