codevs 1245 最小的N个和

1245 最小的N个和

http://codevs.cn/problem/1245/

题目描述 Description

有两个长度为 N 的序列 A 和 B，在 A 和 B 中各任取一个数可以得到 N^2 个和，求这N^2 个和中最小的 N个。

输入描述 Input Description

第一行输入一个正整数N；第二行N个整数Ai 且Ai≤10^9；第三行N个整数Bi，
且Bi≤10^9

输出描述 Output Description

输出仅一行，包含 n 个整数，从小到大输出这 N个最小的和，相邻数字之间用
空格隔开。

样例输入 Sample Input

5

1 3 2 4 5 
6 3 4 1 7

样例输出 Sample Output

2 3 4 4 5

数据范围及提示 Data Size & Hint

【数据规模】 对于 100%的数据，满足 1≤N≤100000。

堆的基本操作+贪心

堆的基本操作讲解，见随笔：讲解——堆http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/6238795.html

设输入数据存在数组a[]和b[]中，heap[]为大根堆

为什么题目要求最小的n个，我们却要维护大根堆呢？看完以下几个步骤再说。

1、排序：题目要求输出最小的n个数，所以先将两个数组从小到大排序

2、heap[]初始化：因为固定输出n个数，所以把排序之后的数组a[1]依次与b[]的每一个数相加，和加入heap[]中

3、从a[2]开始枚举每一个数，如果a中的第i个+b中的第1个（即b中最小的一个）>=heap[1](即堆中最大的元素)，那么结束枚举。因为a是递增的，b也是递增的，后面的相加的和会更大。

如果a中第i个+b中第j个>=heap[1],那么枚举a的下一个，因为b中元素递增，与同一个a相加后更大；枚举a的下一个，b从第一个开始，可能会产生更小的。

4、步骤3中，在每加入一个元素之前，都要删除堆中第一个（即最大的），因为加入的元素一定小于堆中第一个元素。

5、取出堆中的每一个元素，因为是大根堆，而题目要最小的n个，所以倒叙存储。

6、输出答案

由此可见为什么要维护大根堆了吧！利用大根堆的第一个元素可以快速判断a，b中的数还有没有枚举的必要。

有人可能说了，那我维护一个小根堆，不是也能判断吗？

的确，也能判断。

但小根堆中最大的元素查找时间复杂度为o(n/2),大根堆为O（1）。当然是大根堆快啦。

此处容易有一个理解偏差：认为小根堆中最大的元素就是heap[n]，实际不是这样：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,a[],b[],heap[],s,ans[];//s表示heap[]中的元素个数
int init()//读入优化
{
    int x=,f=;char c=getchar();
    while(c<''||c>'') {if(c=='-') f=-;c=getchar();}
    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}
    return x*f;
}
void insert(int k)//往堆中加入元素k
{
    s++;
    int p=s;
    heap[s]=k;
    while(p>&&k>heap[p/])
    {
        heap[p]=heap[p/];
        p/=;
    }
    heap[p]=k;
}
void heapify(int t)//维护堆
{
    int left=t*,right=t*+;
    int maxn=t;
    if(left<=s) maxn=heap[maxn]>heap[left] ? maxn:left;
    if(right<=s) maxn=heap[maxn]>heap[right] ? maxn:right;
    if(maxn!=t)
    {
        swap(heap[maxn],heap[t]);
        heapify(maxn);
    }
}
int get()//取出堆中最大值
{
    int top=heap[];
    heap[]=heap[s];
    s--;
    heapify();
    return top;
}
int main()
{
    n=init();
    for(int i=;i<=n;i++) a[i]=init();
    for(int i=;i<=n;i++) b[i]=init();
    sort(a+,a+n+);//排序，对应第1步
    sort(b+,b+n+);
    for(int i=;i<=n;i++) insert(a[]+b[i]);//堆得初始化，对应第2步
    for(int i=;i<=n;i++)//对应第3步
    {
        if(heap[]<=a[i]+b[]) break;
        for(int j=;j<=n;j++)
        {
            if(heap[]<=a[i]+b[j]) break;
            get();//对应第5步
            insert(a[i]+b[j]);
        }
    }
    while(s) ans[s]=get();//对应第6步
    for(int i=;i<=n;i++) printf("%d ",ans[i]);//对应第7步
}

刚开始超时一个点，原因是两个判断break的语句没有加等号。只想着相等的元素也要输出，却忽略了判断的是堆中最大的元素，相不相等无所谓。

超时的数据：n=10000，然后20000个1，所有的和都是2